Två-dimensionell kinematik eller rörelse i ett plan

Den här artikeln beskriver de grundläggande koncepten som är nödvändiga för att analysera rörelse av objekt i två dimensioner, utan hänsyn till krafterna som orsakar den involverade accelerationen. Ett exempel på denna typ av problem skulle vara att kasta en boll eller skjuta en kanonkula. Den förutsätter en kännedom om endimensionell kinematik, eftersom den expanderar samma koncept till ett tvådimensionellt vektorrum.

Att välja koordinater

Kinematik involverar förskjutning, hastighet och acceleration som alla är vektorkvantiteter som kräver både en storlek och riktning. För att börja ett problem i tvådimensionell kinematik måste du först definiera det koordinatsystem du använder. Generellt kommer det att vara i termer av en x-axel och a y-axel, orienterad så att rörelsen är i positiv riktning, även om det kan finnas vissa omständigheter där detta inte är den bästa metoden.

I fall där tyngdkraft övervägs är det vanligt att göra tyngdkraftsriktningen negativt-y riktning. Detta är en konvention som generellt förenklar problemet, även om det skulle vara möjligt att utföra beräkningarna med en annan inriktning om du verkligen önskar.

Hastighetsvektor

Positionsvektorn r är en vektor som går från koordinatsystemets ursprung till en given punkt i systemet. Förändringen i position (Δr, uttalas "Delta r") är skillnaden mellan startpunkten (r₁) till slutpunkt (r₂). Vi definierar genomsnittlig hastighet (v_AV) som:

v_AV = (r₂ - r₁) / (t₂ - t₁) = Δr/ Δt

Tar gränsen som Δt närmar sig 0, uppnår vi omedelbar hastighet v. I kalkyltermer är det härledet av r med avseende på t, eller dr/dt.

När tidsskillnaden minskar rör sig start- och slutpunkterna närmare varandra. Sedan riktningen av r är samma riktning som v, det blir tydligt att den omedelbara hastighetsvektorn vid varje punkt längs banan är tangent till banan.

Hastighetskomponenter

Det användbara draget av vektorkvantiteter är att de kan delas upp i sina komponentvektorer. Derivatet av en vektor är summan av dess komponentderivat, därför:

v_x = dx/dt
v_y = dy/dt

Storleken på hastighetsvektorn ges av Pythagorean Theorem i formen:

|v| = v = sqrt (v_x² + v_y²)

Riktningen v är orienterad alfa grader moturs från x-komponent, och kan beräknas från följande ekvation:

solbränna alfa = v_y / v_x

Accelerationsvektor

Acceleration är hastighetsförändringen under en viss tidsperiod. I likhet med analysen ovan finner vi att den är Δv/ Δt. Gränsen för detta som Δt tillvägagångssätt 0 ger derivatet av v med avseende på t.

När det gäller komponenter kan accelerationsvektorn skrivas som:

en_x = dv_x/dt
en_y = dv_y/dt

eller

en_x = d²x/dt²
en_y = d²y/dt²

Storleken och vinkeln (betecknad som beta att skilja från alfa) för nettaccelerationsvektorn beräknas med komponenter på ett sätt som liknar de för hastighet.

Arbeta med komponenter

Ofta innebär tvådimensionell kinematik att bryta relevanta vektorer i deras x- och y-komponenter, analysera sedan var och en av komponenterna som om de var endimensionella fall. När denna analys är klar kombineras sedan komponenterna för hastighet och / eller acceleration igen för att erhålla de resulterande tvådimensionella hastighets- och / eller accelerationsvektorerna.

Tredimensionell kinematik

Ovanstående ekvationer kan alla utvidgas för rörelse i tre dimensioner genom att lägga till en z-komponent till analysen. Detta är i allmänhet ganska intuitivt, även om en viss omsorg måste göras för att se till att detta görs i rätt format, särskilt när det gäller att beräkna vektorns orienteringsvinkel.

Redigerad av Anne Marie Helmenstine, Ph.D.