Använd viktiga siffror i exakt mätning

Vid en mätning kan en forskare endast nå en viss precision, begränsad antingen av verktygen som används eller situationens fysiska karaktär. Det mest uppenbara exemplet är att mäta avstånd.

Tänk på vad som händer när du mäter avståndet ett objekt flyttade med ett måttband (i metriska enheter). Måttet är troligtvis uppdelat i de minsta enheterna på millimeter. Därför finns det inget sätt att mäta med en precision större än en millimeter. Om objektet rör sig 57.215493 millimeter kan vi därför bara säga säkert att det rörde sig 57 millimeter (eller 5,7 centimeter eller 0,057 meter, beroende på preferensen i den situationen).

I allmänhet är denna avrundningsnivå bra. Att få den exakta förflyttningen av ett objekt i normal storlek ner till en millimeter skulle faktiskt vara en ganska imponerande prestation. Föreställ dig att försöka mäta rörelsen på en bil till millimeteren, så ser du att det i allmänhet inte är nödvändigt. I de fall där sådan precision är nödvändig använder du verktyg som är mycket mer sofistikerade än ett måttband.

Antalet meningsfulla siffror i en mätning kallas antalet signifikanta siffror av antalet. I det tidigare exemplet skulle svaret på 57 millimeter ge oss 2 betydande siffror i vår mätning.

Nollor och betydande siffror

Tänk på antalet 5.200.

Om inget annat sägs är det vanligt att anta att endast de två siffrorna som inte är noll har betydelse. Med andra ord antas att detta nummer avrundades till närmaste hundra.

Men om antalet skrivs som 5 200,0, skulle det ha fem betydande siffror. Decimalpunkten och följande noll läggs endast till om mätningen är exakt till den nivån.

På samma sätt skulle siffran 2.30 ha tre betydande siffror, eftersom nollan i slutet är en indikation på att forskaren som gjorde mätningen gjorde det på den nivån av precision.

Vissa läroböcker har också infört konventionen att en decimalpunkt i slutet av ett helt nummer också anger betydande siffror. Så 800. skulle ha tre betydande siffror medan 800 bara har en betydande siffra. Återigen är detta något varierande beroende på läroboken.

Följande är några exempel på olika antal betydande siffror, för att hjälpa till att stärka konceptet:

En betydande siffra
4
900
0.00002
Två betydelsefulla siffror
3,7
0,0059
68 tusen
5,0
Tre betydande siffror
9,64
0,00360
99.900
8,00
900. (i vissa läroböcker)

Matematik med betydande siffror

Vetenskapliga siffror ger några andra regler för matematik än vad du introduceras i din matematikklass. Nyckeln till att använda viktiga siffror är att vara säker på att du håller samma precision i hela beräkningen. I matematik behåller du alla siffror från ditt resultat, medan du i vetenskapligt arbete ofta rundar utifrån de betydande siffrorna som är inblandade.

När du lägger till eller subtraherar vetenskapliga data är det bara sista siffran (den siffra längst till höger) som är viktig. Låt oss till exempel anta att vi lägger till tre olika avstånd:

5.324 + 6.8459834 + 3.1

Den första termen i tilläggsproblemet har fyra betydande siffror, den andra har åtta och den tredje har bara två. Precisionen bestäms i detta fall av den kortaste decimalpunkten. Så du kommer att utföra din beräkning, men istället för 15.2699834 blir resultatet 15.3, eftersom du kommer att runda till tiondelarna (första platsen efter decimalpunkten), för medan två av dina mått är mer exakta kan den tredje inte säga du något mer än tiondelarna, så resultatet av detta tilläggsproblem kan bara vara så exakt också.

Observera att ditt slutliga svar, i det här fallet, har tre viktiga siffror ingen av dina startnummer gjorde. Detta kan vara väldigt förvirrande för nybörjare, och det är viktigt att uppmärksamma den egenskapen tillägg och subtraktion.

Vid multiplikation eller delning av vetenskapliga data spelar å andra sidan antalet betydande siffror någon roll. Att multiplicera betydande siffror kommer alltid att resultera i en lösning som har samma betydande siffror som de minsta signifikanta siffrorna du började med. Så vidare till exemplet:

5,638 x 3,1

Den första faktorn har fyra betydande siffror och den andra faktorn har två betydande siffror. Din lösning kommer därför att sluta med två betydande siffror. I det här fallet är det 17 istället för 17.4778. Du utför beräkningen sedan runda din lösning till rätt antal viktiga siffror. Den extra precisionen i multiplikationen skadar inte, du vill bara inte ge en falsk nivå av precision i din slutliga lösning.

Använda vetenskaplig notation

Fysiken handlar om rymdområden från storleken på mindre än en proton till universums storlek. Som sådan hamnar du med några mycket stora och mycket små siffror. Generellt sett är endast de första få av dessa siffror betydande. Ingen kommer att (eller kunna) mäta universums bredd till närmaste millimeter.

Notera

Denna del av artikeln handlar om att manipulera exponentiella nummer (dvs 105, 10-8, etc.) och det antas att läsaren har ett grepp om dessa matematiska begrepp. Även om ämnet kan vara svårt för många studenter, ligger det utanför den här artikelns omfattning.

För att enkelt kunna manipulera dessa nummer använder forskare vetenskapliga notationer. De betydande siffrorna listas och multipliceras sedan med tio till den nödvändiga kraften. Ljushastigheten är skriven som: [svartvit skugga = nej] 2.997925 x 108 m / s

Det finns 7 betydande siffror och det är mycket bättre än att skriva 299.792.500 m / s.

Notera

Ljushastigheten skrivs ofta till 3,00 x 108 m / s, i så fall finns det bara tre betydande siffror. Återigen är detta en fråga om vilken precision som krävs.

Denna notering är mycket praktisk för multiplikation. Du följer reglerna som beskrivits tidigare för att multiplicera de betydande siffrorna, behålla det minsta antalet betydande siffror och sedan multiplicerar du storleken, som följer exponenternas additivregel. Följande exempel bör hjälpa dig att visualisera det:

2,3 x 103 x 3,19 x 104 = 7,3 x 107

Produkten har bara två betydande siffror och storleksordningen är 107 eftersom 103 x 104 = 107

Lägga till vetenskaplig notation kan vara mycket enkelt eller väldigt knepigt, beroende på situationen. Om termerna har samma storleksordning (dvs. 4.3005 x 105 och 13,5 x 105) följer du tilläggsreglerna som diskuterats tidigare, och håller det högsta platsvärdet som din avrundningsplats och håller storleken densamma, som i följande exempel:

4,3005 x 105 + 13,5 x 105 = 17,8 x 105

Om storleksordningen är annorlunda måste du dock arbeta lite för att få storleken på samma sätt, som i följande exempel, där en term är på storleken 105 och den andra termen är på 106: s storlek:

4,8 x 105 + 9,2 x 106 = 4,8 x 105 + 92 x 105 = 97 x 105
eller
4,8 x 105 + 9,2 x 106 = 0,48 x 106 + 9,2 x 106 = 9,7 x 106

Båda dessa lösningar är desamma, vilket resulterar i 9 700 000 som svaret.

På samma sätt skrivs väldigt små nummer ofta också i vetenskaplig notation, dock med en negativ exponent på storleken istället för den positiva exponenten. Elektronens massa är:

9,10939 x 10-31 kg

Detta skulle vara en noll, följt av en decimal, följt av 30 nollor, sedan serien med 6 betydande siffror. Ingen vill skriva ut det, så vetenskaplig notering är vår vän. Alla regler som beskrivs ovan är desamma, oavsett om exponenten är positiv eller negativ.

Gränserna för betydande siffror

Väsentliga siffror är ett grundläggande medel som forskare använder för att ge ett mått på precision till antalet de använder. Den involverade avrundningsprocessen introducerar fortfarande ett mått på fel i siffrorna, och i mycket högnivåberäkningar finns det andra statistiska metoder som används. För praktiskt taget all fysik som kommer att göras i gymnasiet och högskolanivåerna, kommer emellertid korrekt användning av betydande siffror att räcka för att upprätthålla den nödvändiga precisionen.

Slutliga kommentarer

Betydande siffror kan vara en betydande hinder när de först introducerades för eleverna eftersom det ändrar några av de grundläggande matematiska reglerna som de har lärt sig i åratal. Med betydande siffror, till exempel 4 x 12 = 50.

På liknande sätt kan införandet av vetenskaplig notation för studenter som kanske inte är helt bekväm med exponenter eller exponentiella regler också skapa problem. Tänk på att det här är verktyg som alla som studerar vetenskap måste lära sig vid någon tidpunkt, och reglerna är faktiskt väldigt grundläggande. Problemet är nästan helt att komma ihåg vilken regel som används vid vilken tidpunkt. När lägger jag till exponenter och när subtraherar jag dem? När flyttar jag decimalpunkten till vänster och när till höger? Om du fortsätter öva på dessa uppgifter blir du bättre på dem tills de blir andra naturen.

Slutligen kan det vara svårt att underhålla lämpliga enheter. Kom ihåg att du inte kan lägga till exempelvis centimeter och meter, men måste först konvertera dem till samma skala. Detta är ett vanligt misstag för nybörjare, men som resten är det något som mycket lätt kan övervinnas genom att sakta ner, vara försiktig och tänka på vad du gör.