Vad är de konversiva, kontrapositiva och omvända?

Villkorliga uttalanden uppträder överallt. I matematik eller någon annanstans tar det inte lång tid att stöta på något av formen ”Om P sedan Q.”Villkorliga uttalanden är verkligen viktiga. Det som också är viktigt är uttalanden som är relaterade till det ursprungliga villkorade uttalandet genom att ändra positionen P, Q och förnekandet av ett uttalande. Från och med ett originalt uttalande slutar vi med tre nya villkorliga uttalanden som kallas det konverserade, det kontrapositiva och det omvända.

Negation

Innan vi definierar det konverserade, kontrapositiva och inverse av ett villkorligt uttalande, måste vi undersöka ämnet negation. Varje uttalande i logik är antingen sant eller falskt. Förnekandet av ett uttalande innebär helt enkelt införandet av ordet "inte" i rätt del av uttalandet. Tillägget av ordet "inte" görs så att det förändrar uttalandets sanningsstatus.

Det hjälper till att titta på ett exempel. Uttalandet "Den högra triangeln är liksidig" har negativ "Den rätta triangeln är inte liksidig." Negationen av "10 är ett jämnt tal" är påståendet "10 är inte ett jämnt tal." Naturligtvis för detta sista exempel, vi skulle kunna använda definitionen av ett udda nummer och istället säga att "10 är ett udda tal." Vi noterar att sanningen i ett uttalande är motsatsen till det från negationen..

Vi kommer att undersöka denna idé i en mer abstrakt miljö. När uttalandet P är sant, uttalandet "inte P”Är falskt. På samma sätt, om P är falskt, dess negation "inte P" är sant. Negationer benämns vanligtvis med en tilde ~. Så istället för att skriva ”inte P”Vi kan skriva ~P.

Converse, contrapositive och Inverse

Nu kan vi definiera det konverserade, det kontrapositiva och det omvända av ett villkorligt uttalande. Vi börjar med det villkorade uttalandet ”If P sedan Q.”

• Konversationen av det villkorade uttalandet är ”Om Q sedan P.”
• Det kontrapositiva med det villkorade uttalandet är ”Om inte Q då inte P.”
• Det omvända av det villkorade uttalandet är ”Om inte P då inte Q.”

Vi kommer att se hur dessa uttalanden fungerar med ett exempel. Anta att vi börjar med det villkorade uttalandet "Om det regnade i går kväll, är trottoaren våt."

• Konversationen av det villkorade uttalandet är "Om trottoaren är våt, regnade det i går kväll."
• Det kontrapositiva med det villkorade uttalandet är "Om trottoaren inte är våt, regnade det inte i går kväll."
• Det omvända av det villkorade uttalandet är "Om det inte regnade igår kväll, är trottoaren inte våt."

Logisk ekvivalens

Vi kanske undrar varför det är viktigt att bilda dessa andra villkorade uttalanden från vår första. En noggrann titt på exemplet ovan avslöjar något. Anta att det ursprungliga uttalandet "Om det regnade igår kväll, är trottoaren våt" är sant. Vilket av de andra uttalandena måste också vara sant?

• Samtalet "Om trottoaren är våt, regnade det i går kväll" är inte nödvändigtvis sant. Trottoaren kan vara våt av andra skäl.
• Den omvända "Om det inte regnade igår kväll, är trottoaren inte våt" är inte nödvändigtvis sant. Återigen, bara för att det inte regnade betyder inte att trottoaren inte är våt.
• Den kontrapositiva "Om trottoaren inte är våt, regnade det inte i går kväll" är ett riktigt uttalande.

Det vi ser av detta exempel (och vad som kan bevisas matematiskt) är att ett villkorligt uttalande har samma sanningsvärde som dess kontrapositiva. Vi säger att dessa två uttalanden är logiskt likvärdiga. Vi ser också att ett villkorligt uttalande inte logiskt motsvarar dess omvända och omvända.

Eftersom ett villkorligt uttalande och dess kontrapositiva är logiskt likvärdiga, kan vi använda detta till vår fördel när vi bevisar matematiska teorem. I stället för att bevisa sanningen i ett villkorligt uttalande direkt, kan vi istället använda den indirekta bevisstrategin för att bevisa sanningen om det uttalandets kontrapositiva. Kontrapositiva bevis fungerar eftersom om det kontrapositiva är sant, på grund av logisk ekvivalens, är det ursprungliga villkorliga uttalandet också sant.

Det visar sig att även om de konverserade och inversa inte är logiskt likvärdiga med det ursprungliga villkorliga uttalandet, är de logiskt likvärdiga med varandra. Det finns en enkel förklaring till detta. Vi börjar med det villkorade uttalandet ”If Q sedan P”. Kontrapositivet med detta uttalande är ”Om inte P då inte Q.”Eftersom det omvända är det kontrapositiva för det omvända, är det omvända och det omvända logiskt ekvivalenta.