När är standardavvikelsen lika med noll?

Provets standardavvikelse är en beskrivande statistik som mäter spridningen av en kvantitativ datamängd. Detta nummer kan vara vilket som helst icke-negativt reellt tal. Eftersom noll är ett icke-negativt verkligt tal, verkar det värt att fråga, "När kommer provets standardavvikelse att vara lika med noll?" Detta inträffar i det mycket speciella och mycket ovanliga fallet när alla våra datavärden är exakt samma. Vi kommer att undersöka orsakerna till det.

Beskrivning av standardavvikelsen

Två viktiga frågor som vi vanligtvis vill besvara om en datamängd inkluderar:

• Vad är datorns centrum?
• Hur spridd är uppsättningen av data?

Det finns olika mätningar, kallad beskrivande statistik som svarar på dessa frågor. Till exempel kan datacentret, även känt som medelvärdet, beskrivas i termer av medelvärdet, median eller läge. Annan statistik, som är mindre känd, kan användas såsom midhinge eller trimean.

För spridning av våra data kan vi använda intervallet, interkvartilområdet eller standardavvikelsen. Standardavvikelsen är parad med medelvärdet för att kvantifiera spridningen av våra data. Vi kan sedan använda detta nummer för att jämföra flera datauppsättningar. Ju större vår standardavvikelse är, desto större är spridningen.

Intuition

Så låt oss överväga från denna beskrivning vad det skulle betyda att ha en standardavvikelse på noll. Detta skulle indikera att det inte finns någon spridning alls i vår datauppsättning. Alla de individuella datavärdena skulle klumpas samman till ett enda värde. Eftersom det bara skulle finnas ett värde som våra data kan ha, skulle detta värde utgöra medelvärdet för vårt prov.

I denna situation, när alla våra datavärden är desamma, skulle det inte finnas någon variation överhuvudtaget. Intuitivt är det vettigt att standardavvikelsen för en sådan datamängd skulle vara noll.

Matematisk bevis

Provets standardavvikelse definieras av en formel. Så alla uttalanden som ovanstående bör bevisas med hjälp av denna formel. Vi börjar med en datauppsättning som passar beskrivningen ovan: alla värden är identiska och det finns n värden lika med x.

Vi beräknar medelvärdet för denna datauppsättning och ser att den är det

 x = (x + x +... + x) /n = nx/n = x.

När vi beräknar de individuella avvikelserna från medelvärdet ser vi att alla dessa avvikelser är noll. Följaktligen är avvikelsen och även standardavvikelsen båda lika med noll också.

Nödvändigt och tillräckligt

Vi ser att om datauppsättningen inte visar någon variation, så är dess standardavvikelse noll. Vi kan fråga om det omvända med detta uttalande också är sant. För att se om det är det kommer vi att använda formeln för standardavvikelse igen. Den här gången kommer vi dock att ställa in standardavvikelsen lika med noll. Vi kommer inte att göra några antaganden om vår datauppsättning, men ser vilken inställning s = 0 antyder

Anta att standardavvikelsen för en datamängd är lika med noll. Detta skulle innebära att provvariansen s² är också lika med noll. Resultatet är ekvationen:

0 = (1 / (n - 1)) ∑ (x_jag - x )²

Vi multiplicerar båda sidorna av ekvationen med n - 1 och se att summan av de kvadratiska avvikelserna är lika med noll. Eftersom vi arbetar med verkliga siffror är det enda sättet att detta inträffar att var och en av de kvadratiska avvikelserna är lika med noll. Detta betyder att för alla jag, termen (x_jag - x )² = 0.

Vi tar nu kvadratroten av ovanstående ekvation och ser att varje avvikelse från medelvärdet måste vara lika med noll. Eftersom för alla jag,

x_jag - x = 0

Detta betyder att varje datavärde är lika med medelvärdet. Detta resultat tillsammans med det ovanstående tillåter oss att säga att sampelstandardavvikelsen för en datamängd är noll om och bara om alla dess värden är identiska.