Varför är nollfaktoriellt lika?

En nollfaktorial är ett matematiskt uttryck för antalet sätt att ordna en datauppsättning utan värden i, vilket är lika med en. I allmänhet är faktorn för ett nummer ett kort hand sätt att skriva ett multiplikationsuttryck där antalet multipliceras med varje nummer mindre än det men större än noll. 4! = 24, till exempel, är detsamma som att skriva 4 x 3 x 2 x 1 = 24, där man använder ett utropstecken till höger om faktornumret (fyra) för att uttrycka samma ekvation.

Det är ganska tydligt från dessa exempel hur man beräknar fakultetet för vilket heltal som är större än eller lika med ett, men varför är värdet på noll factorial ett trots den matematiska regeln att allt multiplicerat med noll är lika med noll? 

Definitionen av fabriken säger att 0! = 1. Detta förvirrar vanligtvis människor första gången de ser denna ekvation, men vi kommer att se i exemplen nedan varför detta är meningsfullt när man tittar på definitionen, permutationerna och formlerna för noll-faktoriet.

Definitionen av ett nollfaktorium

Den första orsaken till varför nollfaktoriellhet är lika med en är att det är vad den definitionen säger att den borde vara, vilket är en matematiskt korrekt förklaring om inte en något otillfredsställande. Ändå måste man komma ihåg att definitionen av ett faktorial är produkten av alla heltal som är lika med eller mindre i värde som det ursprungliga antalet - med andra ord, det är ett faktorium som är antalet kombinationer som är möjliga med eller mindre än eller lika med det antalet.

Eftersom noll inte har några lägre siffror men fortfarande är i sig självt ett nummer finns det fortfarande en möjlig kombination av hur den datauppsättningen kan ordnas: den kan inte. Detta räknas fortfarande som ett sätt att ordna det, så per definition är ett nollfaktoriellt lika med ett, precis som 1! är lika med en eftersom det bara finns ett enda möjligt arrangemang av denna datamängd.

För en bättre förståelse av hur detta är vettigt matematiskt är det viktigt att notera att faktorer som dessa används för att bestämma möjliga informationsordningar i en sekvens, även känd som permutationer, vilket kan vara användbart för att förstå att även om det inte finns några värden i en tom eller noll uppsättning, det finns fortfarande ett sätt som uppsättningen är ordnad. 

Permutationer och Factorials

En permutation är en specifik, unik ordning av element i en uppsättning. Till exempel finns det sex permutationer i uppsättningen 1, 2, 3, som innehåller tre element, eftersom vi kan skriva dessa element på följande sex sätt:

• 1, 2, 3
• 1, 3, 2
• 2, 3, 1
• 2, 1, 3
• 3, 2, 1
• 3, 1, 2

Vi kan också säga detta faktum genom ekvationen 3! = 6, vilket är en faktorisk representation av hela uppsättningen permutationer. På liknande sätt finns det fyra! = 24 permutationer av en uppsättning med fyra element och 5! = 120 permutationer av en uppsättning med fem element. Så ett alternativt sätt att tänka på fabriken är att låta n vara ett naturligt tal och säga det n! är antalet permutationer för en uppsättning med n element.

Med detta sätt att tänka på faktoriet, låt oss titta på några fler exempel. En uppsättning med två element har två permutationer: a, b kan ordnas som a, b eller som b, a. Detta motsvarar 2! = 2. En uppsättning med ett element har en enda permutation, eftersom elementet 1 i uppsättningen 1 bara kan beställas på ett sätt.

Detta leder oss till noll factorial. Uppsättningen med nollelement kallas den tomma uppsättningen. För att hitta värdet på noll factorial frågar vi, "Hur många sätt kan vi beställa en uppsättning utan element?" Här måste vi sträcka vårt tänkande lite. Även om det inte finns något att ordna, finns det ett sätt att göra detta. Således har vi det 0! = 1.

Formler och andra valideringar

En annan anledning till definitionen av 0! = 1 har att göra med formlerna som vi använder för permutationer och kombinationer. Detta förklarar inte varför noll factorial är en, men det visar varför inställning 0! = 1 är en bra idé.

En kombination är en gruppering av element i en uppsättning utan hänsyn till ordningen. Tänk till exempel uppsättningen 1, 2, 3, där det finns en kombination som består av alla tre elementen. Oavsett vilken ordning vi ordnar dessa element, slutar vi med samma kombination.

Vi använder formeln för kombinationer, med kombinationen av tre element tagna tre åt gången och ser att 1 = C (3, 3) = 3! / (3! 0!) Och om vi behandlar 0! som en okänd mängd och löser algebraiskt ser vi att 3! 0! = 3! och så 0! = 1.

Det finns andra skäl till att definitionen av 0! = 1 är korrekt, men orsakerna ovan är de mest enkla. Den övergripande idén i matematik är när nya idéer och definitioner konstrueras, de förblir konsekventa med annan matematik, och det är exakt vad vi ser i definitionen av noll factorial är lika med en.