Kompletteringsregeln

I statistik är komplementregeln ett ställe som ger en koppling mellan sannolikheten för en händelse och sannolikheten för komplementet till händelsen på ett sådant sätt att om vi känner till en av dessa sannolikheter, så känner vi automatiskt den andra.

Komplementregeln är praktiskt när vi beräknar vissa sannolikheter. Många gånger är sannolikheten för en händelse rörig eller komplicerad att beräkna, medan sannolikheten för dess komplement är mycket enklare.

Innan vi ser hur komplementregeln används, definierar vi specifikt vad denna regel är. Vi börjar med lite notation. Komplementet av evenemanget EN, bestående av alla element i provutrymmet S som inte är delar av uppsättningen EN, betecknas med ENC.

Uttalande om kompletteringsregeln

Komplementregeln anges som "summan av sannolikheten för en händelse och sannolikheten för dess komplement är lika med 1", uttryckt av följande ekvation:

P (EN^C) = 1 - P (EN)

Följande exempel visar hur du använder komplementregeln. Det kommer att bli uppenbart att denna sats både kommer att påskynda och förenkla sannolikhetsberäkningarna.

Sannolikhet utan kompletteringsregeln

Anta att vi vänder åtta mässor - vad är sannolikheten för att vi har minst ett huvud som visar? Ett sätt att räkna ut är att beräkna följande sannolikheter. Nämnaren för var och en förklaras av att det finns två⁸ = 256 resultat, var och en av dem lika troliga. Allt av följande en formel för kombinationer:

• Sannolikheten för att vända exakt ett huvud är C (8,1) / 256 = 8/256.
• Sannolikheten för att vända exakt två huvuden är C (8,2) / 256 = 28/256.
• Sannolikheten för att vända exakt tre huvuden är C (8,3) / 256 = 56/256.
• Sannolikheten för att vända exakt fyra huvuden är C (8,4) / 256 = 70/256.
• Sannolikheten för att vända exakt fem huvuden är C (8,5) / 256 = 56/256.
• Sannolikheten för att vända exakt sex huvuden är C (8,6) / 256 = 28/256.
• Sannolikheten för att vända exakt sju huvuden är C (8,7) / 256 = 8/256.
• Sannolikheten för att vända exakt åtta huvuden är C (8,8) / 256 = 1/256.

Dessa är ömsesidigt exklusiva händelser, så vi summerar sannolikheterna tillsammans med en lämplig adderingsregel. Detta innebär att sannolikheten för att vi har minst ett huvud är 255 av 256.

Använd kompletteringsregeln för att förenkla sannolikhetsproblem

Vi beräknar nu samma sannolikhet med hjälp av komplementregeln. Komplementet av händelsen "Vi vänder åtminstone ett huvud" är händelsen "Det finns inga huvuden." Det finns ett sätt för detta att hända, vilket ger oss en sannolikhet på 1/256. Vi använder komplementregeln och finner att vår önskade sannolikhet är en minus en av 256, vilket är lika med 255 av 256.

Detta exempel visar inte bara användbarheten utan också kraften i komplementregeln. Även om det inte är något fel med vår ursprungliga beräkning, var den ganska involverad och krävde flera steg. Däremot, när vi använde komplementregeln för detta problem fanns det inte så många steg där beräkningar kunde gå fel.