LIPET-strategin för integrering av delar

Integration av delar är en av många integreringstekniker som används i kalkylen. Denna integrationsmetod kan ses som ett sätt att ångra produktregeln. En av svårigheterna med att använda denna metod är att bestämma vilken funktion i vår integrand som ska matchas till vilken del. LIPET-akronymen kan användas för att ge lite vägledning om hur man delar upp delar av vår integral.

Integration av delar

Återkalla integrationsmetoden efter delar. Formeln för denna metod är:

∫ u dv = uv - ∫ v du.

Denna formel visar vilken del av integranden som ska ställas in lika med u, och vilken del att ställa in lika med dv. LIPET är ett verktyg som kan hjälpa oss i denna strävan.

LIPET-förkortningen

Ordet "LIPET" är en förkortning, vilket betyder att varje bokstav står för ett ord. I detta fall representerar bokstäverna olika typer av funktioner. Dessa identifieringar är:

• L = Logaritmisk funktion
• I = Inverse trigonometrisk funktion
• P = Polynomial funktion
• E = Exponentiell funktion
• T = Trigonometrisk funktion

Detta ger en systematisk lista över vad man ska försöka ställa in lika med u i formeln för integration av delar. Om det finns en logaritmisk funktion, prova att ställa in denna lika med u, med resten av integranden lika med dv. Om det inte finns några logaritmiska eller omvända triggfunktioner, försök att ställa in ett polynom som är lika med u. Exemplen nedan hjälper till att klargöra användningen av denna akronym.

Exempel 1

Överväg ∫ x lnx dx. Eftersom det finns en logaritmisk funktion, ställ in denna funktion lika med u = ln x. Resten av integranden är dv = x dx. Det följer att du = dx / x och det v = x²/ 2.

Denna slutsats kan hittas genom prövning och fel. Det andra alternativet skulle ha varit att ställa in u = x. Således du skulle vara mycket lätt att beräkna. Problemet uppstår när vi tittar på dv = lnx. Integrera denna funktion för att bestämma v. Tyvärr är detta en mycket svår integral att beräkna.

Exempel 2

Tänk på integralen ∫ x cos x dx. Börja med de två första bokstäverna i LIPET. Det finns inga logaritmiska funktioner eller omvända trigonometriska funktioner. Nästa bokstav i LIPET, en P, står för polynomier. Sedan funktionen x är ett polynom, set u = x och dv = cos x.

Detta är det rätta valet att göra för integration av delar som du = dx och v = synd x. Integralen blir:

x synd x - ∫ synd x dx.

Få integralen genom en enkel integration av synd x.

När LIPET misslyckas

Det finns vissa fall där LIPET misslyckas, vilket kräver inställning u lika med en annan funktion än den som föreskrivs av LIPET. Av denna anledning bör denna förkortning bara ses som ett sätt att organisera tankar. Förkortningen LIPET ger oss också en översikt över en strategi för att försöka när vi använder integration av delar. Det är inte en matematisk teorem eller princip som alltid är sättet att arbeta genom en integration av delar problem.