Momentfunktionen för en slumpmässig variabel

Ett sätt att beräkna medelvärdet och variansen för en sannolikhetsfördelning är att hitta de förväntade värdena på slumpmässiga variabler X och X². Vi använder notationen E(X) och E(X²) för att ange dessa förväntade värden. I allmänhet är det svårt att beräkna E(X) och E(X²) direkt. För att komma runt denna svårighet använder vi lite mer avancerad matematisk teori och kalkyl. Slutresultatet är något som underlättar våra beräkningar.

Strategin för detta problem är att definiera en ny funktion, av en ny variabel t det kallas funktionen ögonblick som genererar. Denna funktion gör det möjligt för oss att beräkna moment genom att helt enkelt ta derivat.

antaganden

Innan vi definierar funktionen för ögonblick som genererar börjar vi med att ställa in scenen med notation och definitioner. Vi låter X vara en diskret slumpmässig variabel. Denna slumpmässiga variabel har sannolikhetsmassafunktionen f(x). Exempelutrymmet som vi arbetar med kommer att betecknas av S.

Snarare än att beräkna det förväntade värdet på X, vi vill beräkna det förväntade värdet för en exponentiell funktion relaterad till X. Om det finns ett positivt reellt antal r Så att E(e^tX) finns och är begränsad för alla t i intervallet [-r, r], då kan vi definiera momentöverföringsfunktionen för X.

Definition

Den momentgenererande funktionen är det förväntade värdet på den exponentiella funktionen ovan. Med andra ord säger vi att det ögonblick som genererar funktionen av X ges av:

M(t) = E(e^tX)

Detta förväntade värde är formeln Σ e^tx f (x), där summeringen tas över alla x i provutrymmet S. Detta kan vara en begränsad eller oändlig summa, beroende på provutrymmet som används.

Egenskaper

Funktionen för ögonblick som genererar har många funktioner som ansluter till andra ämnen inom sannolikhet och matematisk statistik. Några av dess viktigaste funktioner inkluderar:

• Koefficienten för e^tb är sannolikheten för att X = b.
• Momentgenererande funktioner har en unik egenskap. Om det ögonblick som genererar funktioner för två slumpmässiga variabler matchar varandra, måste sannolikhetsmassfunktionerna vara desamma. Med andra ord, de slumpmässiga variablerna beskriver samma sannolikhetsfördelning.
• Momentgenererande funktioner kan användas för att beräkna moment av X.

Beräknar ögonblick

Det sista objektet i listan ovan förklarar namnet på ögonblickgenererande funktioner och dess användbarhet. Vissa avancerade matematiker säger att under de villkor som vi lägger ut, härledet av vilken ordningsföljd som helst M (t) finns för när t = 0. I detta fall kan vi dessutom ändra sammanfattningen och differentieringen med avseende på t för att få följande formler (alla sammanfattningar är över värdena för x i provutrymmet S):

• M'(t) = Σ xe^tx f (x)
• M"(t) = Σ x²e^tx f (x)
• M"(t) = Σ x³e^tx f (x)
• M^(N)'(t) = Σ xⁿe^tx f (x)

Om vi ​​ställer in t = 0 i ovanstående formler, sedan e^tx term blir e⁰ = 1. Därmed erhåller vi formler för momenten för den slumpmässiga variabeln X:

• M'(0) = E(X)
• M"(0) = E(X²)
• M"(0) = E(X³)
• M⁽ⁿ⁾(0) = E(Xⁿ)

Detta betyder att om den momentgenererande funktionen finns för en viss slumpmässig variabel, så kan vi hitta dess medelvärde och dess varians i termer av derivat av den momentgenererande funktionen. Medelvärdet är M'(0), och variansen är M"(0) - [M'(0)]².

Sammanfattning

Sammanfattningsvis var vi tvungna att vattna in i några ganska högdrivna matematik, så vissa saker blev glansade över. Även om vi måste använda kalkylen för ovanstående, till slut är vårt matematiska arbete vanligtvis enklare än genom att beräkna moment direkt från definitionen.