Sannolikheten för en stor rak i Yahtzee i en enda rulle

Yahtzee är ett tärningsspel som använder fem sexsidiga standardtärningar. På varje tur får spelarna tre rullar för att uppnå flera olika mål. Efter varje rullning kan en spelare bestämma vilka av tärningarna (om några) som ska behållas och vilka som ska rullas om. Målen inkluderar en mängd olika typer av kombinationer, av vilka många är hämtade från poker. Varje annan typ av kombination är värt en annan mängd poäng.

Två av de typer av kombinationer som spelare måste rulla kallas straights: en liten rak och en stor rak. Liksom raksträckor består dessa kombinationer av tärningar i följd. Små raksträckor använder fyra av de fem tärningarna och stora stakar använder alla fem tärningarna. På grund av slumpmässigheten i rullning av tärningar kan sannolikhet användas för att analysera hur troligt det är att rulla en stor rak i en enda rulle.

antaganden

Vi antar att tärningarna som används är rättvisa och oberoende av varandra. Således finns det ett enhetligt provutrymme bestående av alla möjliga rullar av de fem tärningarna. Även om Yahtzee tillåter tre rullar, för enkelhets skull kommer vi bara att överväga att vi får en stor rak i en enda rulle.

Provutrymmet

Eftersom vi arbetar med ett enhetligt provutrymme blir beräkningen av vår sannolikhet en beräkning av ett par räkneproblem. Sannolikheten för en rak är antalet sätt att rulla rakt, dividerat med antalet resultat i provutrymmet.

Det är mycket lätt att räkna antalet resultat i provutrymmet. Vi rullar fem tärningar och var och en av dessa tärningar kan ha ett av sex olika resultat. En grundläggande tillämpning av multiplikationsprincipen säger att provutrymmet har 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 6⁵ = 7776 resultat. Detta nummer är nämnare för alla fraktioner som vi använder för våra sannolikheter.

Antal rakar

Därefter måste vi veta hur många sätt det är att rulla en stor rak. Detta är svårare än att beräkna storleken på provutrymmet. Anledningen till att detta är svårare är att det finns mer subtilitet i hur vi räknar.

En stor rak är svårare att rulla än en liten rak, men det är lättare att räkna antalet sätt att rulla en stor rak än antalet sätt att rulla en liten rak. Denna typ av rak består av fem sekvensnummer. Eftersom det bara finns sex olika siffror på tärningarna finns det bara två möjliga stora raka: 1, 2, 3, 4, 5 och 2, 3, 4, 5, 6.

Nu bestämmer vi olika antal sätt att rulla en viss uppsättning tärningar som ger oss en rak. För en stor rak med tärningarna 1, 2, 3, 4, 5 kan vi ha tärningarna i valfri ordning. Så följande är olika sätt att rulla samma rak:

• 1, 2, 3, 4, 5
• 5, 4, 3, 2, 1
• 1, 3, 5, 2, 4

Det skulle vara tråkigt att lista alla möjliga sätt att få en 1, 2, 3, 4 och 5. Eftersom vi bara behöver veta hur många sätt det finns för att göra detta kan vi använda några grundläggande räkningstekniker. Vi noterar att allt vi gör är att permutera de fem tärningarna. Det finns 5! = 120 sätt att göra detta. Eftersom det finns två kombinationer av tärningar för att göra en stor rak och 120 sätt att rulla var och en av dessa finns det 2 x 120 = 240 sätt att rulla en stor rak.

Sannolikhet

Nu är sannolikheten för att rulla en stor rak en enkel uppdelningsberäkning. Eftersom det finns 240 sätt att rulla en stor rak i en enda rulle och det finns 7776 rullar med fem tärningar möjliga är sannolikheten för att rulla en stor rak rak 240/7776, vilket är nära 1/32 och 3,1%.

Naturligtvis är det mer troligt än att den första rullen inte är en rak. Om detta är fallet får vi ytterligare två rullar som gör en rak mycket mer trolig. Sannolikheten för detta är mycket mer komplicerad att fastställa på grund av alla möjliga situationer som måste övervägas.