Sannolikheten att rulla en Yahtzee

Yahtzee är ett tärningsspel som involverar en kombination av chans och strategi. En spelare börjar sin tur med att rulla fem tärningar. Efter denna roll kan spelaren bestämma sig för att rulla valfritt antal tärningar igen. Som mest finns det totalt tre rullar för varje varv. Efter dessa tre rullar matas resultatet av tärningarna på ett poängblad. Detta poängblad innehåller olika kategorier, till exempel ett fullt hus eller stor rak. Var och en av kategorierna är nöjda med olika kombinationer av tärningar.

Den svåraste kategorin att fylla i är en Yahtzee. En Yahtzee uppstår när en spelare rullar fem av samma nummer. Hur osannolikt är en Yahtzee? Detta är ett problem som är mycket mer komplicerat än att hitta sannolikheter för två eller till och med tre tärningar. Det främsta skälet är att det finns många sätt att få fem matchande tärningar under tre rullar.

Vi kan beräkna sannolikheten för att rulla en Yahtzee med hjälp av kombinatorikformeln för kombinationer och genom att dela upp problemet i flera fall som är exklusivt.

En rulle

Det enklaste fallet att tänka på är att få en Yahtzee omedelbart på den första rollen. Vi kommer först att titta på sannolikheten för att rulla en viss Yahtzee på fem två, och sedan enkelt utöka detta till sannolikheten för någon Yahtzee.

Sannolikheten för att rulla en två är 1/6, och resultatet av varje matris är oberoende av resten. Sannolikheten för att rulla fem två är således (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) = 1/7776. Sannolikheten för att rulla fem av ett slag av något annat nummer är också 1/7776. Eftersom det finns totalt sex olika siffror på en matris multiplicerar vi ovanstående sannolikhet med 6.

Detta innebär att sannolikheten för en Yahtzee i den första rullen är 6 x 1/7776 = 1/1296 = 0,08 procent.

Två rullar

Om vi ​​rullar något annat än fem av en typ av den första rullningen, måste vi rulla om några av våra tärningar för att försöka få en Yahtzee. Anta att vår första roll har fyra sådana. vi skulle rulla om den som inte matchar och sedan få en Yahtzee på den andra rullen.

Sannolikheten för att rulla totalt fem två på detta sätt hittas enligt följande:

1. På den första rollen har vi fyra två. Eftersom det är troligt att 1/6 rullar en två och 5/6 för att inte rulla två, multiplicerar vi (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) x ( 5/6) = 5/7776.
2. Vilken som helst av de fem tärningarna som rullas kan vara icke-två. Vi använder vår kombinationsformel för C (5, 1) = 5 för att räkna hur många sätt vi kan rulla fyra tvåor och något som inte är ett två.
3. Vi multiplicerar och ser att sannolikheten för att rulla exakt fyra två på den första rullen är 25/7776.
4. På den andra rullningen måste vi beräkna sannolikheten för att rulla en två. Detta är 1/6. Således är sannolikheten för att rulla en Yahtzee av två på ovanstående sätt (25/7776) x (1/6) = 25/46656.

Att hitta sannolikheten för att rulla någon Yahtzee på detta sätt hittas genom att multiplicera ovanstående sannolikhet med 6 eftersom det finns sex olika siffror på en matris. Detta ger en sannolikhet på 6 x 25/46656 = 0,32 procent.

Men detta är inte det enda sättet att rulla en Yahtzee med två rullar. Alla följande sannolikheter finns på ungefär samma sätt som ovan:

• Vi kunde rulla tre av ett slag, och sedan två tärningar som matchar på vår andra rulle. Sannolikheten för detta är 6 x C (5, 3) x (25/7776) x (1/36) = 0,54 procent.
• Vi kunde rulla ett matchande par, och på vår andra rulle tre tärningar som matchar. Sannolikheten för detta är 6 x C (5, 2) x (100/7776) x (1/216) = 0,36 procent.
• Vi kunde rulla fem olika tärningar, rädda en dyn från vår första rulle och sedan rulla fyra tärningar som matchar på den andra rullen. Sannolikheten för detta är (6! / 7776) x (1/1296) = 0,01 procent.

Ovanstående fall är ömsesidigt exklusiva. Detta innebär att för att beräkna sannolikheten för att rulla en Yahtzee i två rullar lägger vi till ovanstående sannolikheter tillsammans och vi har är cirka 1,23 procent.

Tre rullar

För den mest komplicerade situationen ännu, kommer vi nu att undersöka fallet där vi använder alla våra tre rullar för att få en Yahtzee. Vi kan göra detta på flera sätt och måste redogöra för dem alla.

Sannolikheterna för dessa möjligheter beräknas nedan: