Vad är strömmen?

En fråga i uppsättningsteorin är om en uppsättning är en delmängd av en annan uppsättning. En delmängd av EN är en uppsättning som bildas genom att använda några av elementen från uppsättningen EN. För att B att vara en delmängd av EN, varje del av B måste också vara en del av EN.

Varje uppsättning har flera delmängder. Ibland är det önskvärt att känna till alla delmängder som är möjliga. En konstruktion som kallas strömförsörjningen hjälper till i denna strävan. Strömuppsättningen för uppsättningen EN är en uppsättning med element som också är uppsättningar. Denna effektuppsättning bildas genom att inkludera alla delmängderna i en given uppsättning EN.

Exempel 1

Vi kommer att överväga två exempel på strömförsörjning. För det första, om vi börjar med uppsättningen EN = 1, 2, 3, vad är då kraften inställd? Vi fortsätter genom att lista alla delmängder av EN.

• Den tomma uppsättningen är en delmängd av EN. Den tomma uppsättningen är faktiskt en delmängd av varje uppsättning. Detta är den enda delmängden som inte innehåller några delar av EN.
• Uppsättningarna 1, 2, 3 är de enda delmängderna av EN med ett element.
• Uppsättningarna 1, 2, 1, 3, 2, 3 är de enda delmängderna av EN med två element.
• Varje uppsättning är en delmängd av sig själv. Således EN = 1, 2, 3 är en delmängd av EN. Detta är den enda delmängden med tre element.

EN EN EN

Exempel 2

För det andra exemplet kommer vi att överväga kraftsättningen av B = 1, 2, 3, 4. Mycket av det vi sa ovan är liknande, om inte identiskt nu:

• Den tomma uppsättningen och B är båda delmängderna.
• Eftersom det finns fyra delar av B, det finns fyra delmängder med ett element: 1, 2, 3, 4.
• Eftersom varje delmängd av tre element kan bildas genom att eliminera ett element från B och det finns fyra element, det finns fyra sådana undergrupper: 1, 2, 3, 1, 2, 4, 1, 3, 4, 2, 3, 4.
• Det återstår att bestämma delmängderna med två element. Vi bildar en delmängd av två element valda från en uppsättning av 4. Detta är en kombination och det finns det C (4, 2) = 6 av dessa kombinationer. Undergruppen är: 1, 2, 1, 3, 1, 4, 2, 3, 2, 4, 3, 4.

B B

Notation

Det finns två sätt att strömuppsättningen för en uppsättning EN betecknas. Ett sätt att beteckna detta är att använda symbolen P( EN), där ibland detta brev P är skriven med ett stiliserat manus. En annan notation för kraftsättningen av EN är 2^EN. Denna notering används för att ansluta strömförsörjningen till antalet element i strömuppsättningen.

Strömförsörjningens storlek

Vi kommer att undersöka denna notation ytterligare. Om EN är en ändlig uppsättning med n element, sedan dess kraftuppsättning P (A ) kommer att ha 2ⁿ element. Om vi ​​arbetar med en oändlig uppsättning är det inte bra att tänka på 2ⁿ element. Men ett teorem från Cantor säger att kardinaliteten hos en uppsättning och dess kraftsats inte kan vara densamma.

Det var en öppen fråga i matematiken om kardinaliteten i kraftuppsättningen i en oändligt oändlig uppsättning överensstämmer med realens kardinalitet. Lösningen på denna fråga är ganska teknisk, men säger att vi kan välja att identifiera kardinaliteter eller inte. Båda leder till en konsekvent matematisk teori.

Kraftsatser med sannolikhet

Ämnet med sannolikhet är baserat på uppsatt teori. I stället för att hänvisa till universella uppsättningar och delmängder, pratar vi istället om exempelutrymmen och händelser. Ibland när vi arbetar med ett provutrymme vill vi bestämma händelserna i det exemplarummet. Kraftuppsättningen för det provutrymme som vi har ger oss alla möjliga händelser.