Exempel på hypoteser

En viktig del av inferentialstatistiken är hypotesundersökning. Liksom med att lära allt relaterat till matematik är det bra att arbeta igenom flera exempel. Följande undersöker ett exempel på ett hypotestest och beräknar sannolikheten för typ I- och typ II-fel.

Vi antar att de enkla förhållandena gäller. Mer specifikt kommer vi att anta att vi har ett enkelt slumpmässigt urval från en population som antingen är normalt distribuerad eller har en tillräckligt stor provstorlek för att vi kan tillämpa den centrala gränssatsen Vi antar också att vi känner till befolkningsstandardavvikelsen.

Redogörelse av problemet

En påse potatischips förpackas efter vikt. Totalt nio påsar köps, vägdes och medelvikten för dessa nio påsar är 10,5 uns. Anta att standardavvikelsen för befolkningen för alla sådana påsar med chips är 0,6 uns. Den angivna vikten på alla paket är 11 uns. Ställ in en nivå av betydelse på 0,01.

Fråga 1

Stöder provet hypotesen att den verkliga befolkningsmedlet är mindre än 11 ​​uns?

Vi har ett lägre halstest. Detta ses av uttalandet om våra noll- och alternativa hypoteser:

• H₀ : μ = 11.
• H_en : μ < 11.

Teststatistiken beräknas med formeln

z = (x-stapel - μ₀) / (Σ / √n) = (10,5 - 11) / (0,6 / √ 9) = -0,5 / 0,2 = -2,5.

Vi måste nu avgöra hur troligt detta värde av z beror på enbart chansen. Genom att använda en tabell med z-poäng vi ser att sannolikheten för att z är mindre än eller lika med -2,5 är 0,0062. Eftersom detta p-värde är mindre än signifikansnivån, avvisar vi nollhypotesen och accepterar den alternativa hypotesen. Medelvikten för alla påsar med chips är mindre än 11 ​​uns.

fråga 2

Vad är sannolikheten för ett typ I-fel?

Ett typ I-fel uppstår när vi avvisar en nollhypotes som är sant. Sannolikheten för ett sådant fel är lika med signifikansnivån. I det här fallet har vi en nivå av betydelse lika med 0,01, vilket är sannolikheten för ett typ I-fel.

Fråga 3

Om befolkningsmedlet faktiskt är 10,75 ounce, är sannolikheten för ett typ II-fel?

Vi börjar med att omformulera vår beslutsregel när det gäller urvalet. För en signifikansnivå på 0,01 förkastar vi nollhypotesen när z < -2.33. By plugging this value into the formula for the test statistics, we reject the null hypothesis when

(x-bar - 11) / (0,6 / √ 9) < -2.33.

På samma sätt avvisar vi nollhypotesen när 11 - 2.33 (0.2)> x-bar, eller när x-bar är mindre än 10.534. Vi misslyckas med att avvisa nollhypotesen för x-stapel större än eller lika med 10.534. Om det verkliga populationsmedlet är 10,75, är sannolikheten för att x-bar är större än eller lika med 10.534 motsvarar sannolikheten för att z är större än eller lika med -0,22. Denna sannolikhet, som är sannolikheten för ett typ II-fel, är lika med 0,587.