Förstå Factorial (!) I matematik och statistik

I matematik kan symboler som har vissa betydelser på engelska betyda mycket specialiserade och olika saker. Tänk till exempel på följande uttryck:

3!

Nej, vi använde inte utropstecken för att visa att vi är glada över tre, och vi borde inte läsa den sista meningen med betoning. I matematik är uttrycket 3! läses som "tre factorial" och är verkligen ett kort sätt att beteckna multiplikationen av flera på varandra följande heltal.

Eftersom det finns många platser i matematik och statistik där vi behöver multiplicera siffror tillsammans är faktoriet ganska användbart. Några av de viktigaste platserna där det dyker upp är kombinatorik och sannolikhetsberäkning.

Definition

Definitionen av fabriken är den för alla positiva heltal n, Faktoriet:

n! = n x (n -1) x (n - 2) x ... x 2 x 1

Exempel för små värden

Först kommer vi att titta på några exempel på fabriken med små värden på n:

• 1! = 1
• 2! = 2 x 1 = 2
• 3! = 3 x 2 x 1 = 6
• 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
• 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
• 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720
• 7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5040
• 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40320
• 9! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 362880
• 10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 3628800

Som vi ser blir fabriken mycket stor mycket snabbt. Något som kan verka litet, till exempel 20! har faktiskt 19 siffror.

Factorials är enkla att beräkna, men de kan vara lite tråkiga att beräkna. Lyckligtvis har många räknare en faktoriell nyckel (leta efter! -Symbolen). Denna funktion av kalkylatorn automatiserar multiplikationerna.

Ett specialfall

Ett annat värde på fabriken och ett för vilket standarddefinitionen ovan inte gäller är nollfaktoriellt. Om vi ​​följer formeln, skulle vi inte nå något värde för 0 !. Det finns inga positiva heltal mindre än 0. Av flera skäl är det lämpligt att definiera 0! = 1. Faktoriet för detta värde visas särskilt i formlerna för kombinationer och permutationer.

Mer avancerade beräkningar

När vi hanterar beräkningar är det viktigt att tänka innan vi trycker på faktorknappen på vår kalkylator. För att beräkna ett uttryck som 100! / 98! det finns ett par olika sätt att gå igenom detta.

Ett sätt är att använda en kalkylator för att hitta båda 100! och 98 !, dela sedan det ena med det andra. Även om detta är ett direkt sätt att beräkna har det vissa svårigheter i samband med det. Vissa kalkylatorer kan inte hantera uttryck så stora som 100! = 9.33262154 x 10¹⁵⁷. (Uttrycket 10¹⁵⁷ är en vetenskaplig notation som innebär att vi multiplicerar med 1 följt av 157 nollor.) Inte bara är detta antal massivt, utan det är också bara en uppskattning till det verkliga värdet 100!

Ett annat sätt att förenkla ett uttryck med faktorer som det som ses här kräver inte någon räknare. Sättet att närma sig detta problem är att inse att vi kan skriva om 100! inte som 100 x 99 x 98 x 97 x ... x 2 x 1, utan istället som 100 x 99 x 98! Uttrycket 100! / 98! blir nu (100 x 99 x 98!) / 98! = 100 x 99 = 9900.