Använda villkorad sannolikhet för att beräkna sannolikheten för korsning

Den villkorade sannolikheten för en händelse är sannolikheten för en händelse EN inträffar med tanke på att en annan händelse B har redan inträffat. Denna typ av sannolikhet beräknas genom att begränsa provutrymmet som vi arbetar med endast uppsättningen B.

Formeln för villkorad sannolikhet kan skrivas om med hjälp av någon grundläggande algebra. Istället för formeln:

P (A | B) = P (A B) / P (B),

vi multiplicerar båda sidor med P (B) och erhålla motsvarande formel:

P (A | B) x P (B) = P (A-B).

Vi kan sedan använda denna formel för att hitta sannolikheten för att två händelser inträffar med den villkorade sannolikheten.

Användning av formel

Denna version av formeln är mest användbar när vi vet den villkorade sannolikheten för EN given B liksom sannolikheten för händelsen B. Om detta är fallet kan vi beräkna sannolikheten för skärningspunkten mellan EN given B genom att helt enkelt multiplicera två andra sannolikheter. Sannolikheten för skärningspunkten mellan två händelser är ett viktigt nummer eftersom det är sannolikheten att båda händelserna inträffar.

exempel

För vårt första exempel antar vi att vi vet följande värden för sannolikheter: P (A | B) = 0,8 och P (B) = 0,5. Sannolikheten P (A ∩ B) = 0,8 x 0,5 = 0,4.

Medan exemplet ovan visar hur formeln fungerar, är det kanske inte den mest upplysta hur användbar formeln ovan är. Så vi kommer att överväga ett annat exempel. Det finns en gymnasium med 400 elever, varav 120 är manliga och 280 kvinnliga. Av män är 60% för närvarande inskrivna i en matematik. Av kvinnorna är 80% för närvarande inskrivna i en matematik kurs. Vad är sannolikheten för att en slumpmässigt vald student är en kvinna som är inskriven i en matematikkurs?

Här låter vi F betecknar händelsen "vald student är en kvinna" och M händelsen "vald student är registrerad i en matematikkurs." Vi måste fastställa sannolikheten för skärningspunkten mellan dessa två händelser, eller P (M ∩F).

Ovanstående formel visar oss det P (M ∩F) = P (M | F) x P (F). Sannolikheten för att en kvinna är vald är P (F) = 280/400 = 70%. Den villkorade sannolikheten för att den valda studenten är inskriven i en matematik kurs, med tanke på att en kvinna har valts är P (M | F) = 80%. Vi multiplicerar dessa sannolikheter tillsammans och ser att vi har 80% x 70% = 56% sannolikhet för att välja en kvinnlig student som är inskriven i en matematik kurs.

Test för självständighet

Ovanstående formel som hänför sig till villkorad sannolikhet och sannolikheten för korsning ger oss ett enkelt sätt att säga om vi har att göra med två oberoende händelser. Sedan händelser EN och B är oberoende om P (A | B) = P (A), det följer av ovanstående formel att händelser EN och B är oberoende om och bara om:

P (A) x P (B) = P (A ∩ B)

Så om vi vet det P (A) = 0,5, P (B) = 0,6 och P (A ∩ B) = 0.2, utan att veta något annat kan vi fastställa att dessa händelser inte är oberoende. Vi vet detta för P (A) x P (B) = 0,5 x 0,6 = 0,3. Detta är inte sannolikheten för skärningspunkten mellan EN och B.