Vad är ett verkligt nummer?

Vad är ett nummer? Det beror väl. Det finns en mängd olika typer av nummer, var och en med sina egna särskilda egenskaper. En sorts antal, som statistik, sannolikhet och mycket av matematiken bygger på, kallas ett riktigt tal.

För att lära dig vad ett verkligt nummer är, tar vi först en kort rundtur i andra typer av nummer.

Typer av siffror

Vi lär oss först om siffror för att räkna. Vi började med att matcha siffrorna 1, 2 och 3 med våra fingrar. Sedan fortsatte vi så högt som vi kunde, vilket förmodligen inte var så högt. Dessa räkningsnummer eller naturliga nummer var de enda siffrorna som vi visste om.

Senare, när man handlade med subtraktion, introducerades negativa heltal. Uppsättningen positiva och negativa heltal kallas uppsättningen heltal. Strax efter detta övervägdes rationella antal, även kallade bråk. Eftersom varje heltal kan skrivas som en bråk med 1 i nämnaren, säger vi att heltalet utgör en delmängd av de rationella siffrorna.

De antika grekerna insåg att inte alla siffror kan bildas som en bråkdel. Exempelvis kan kvadratroten av 2 inte uttryckas som en bråkdel. Dessa typer av nummer kallas irrationella nummer. Irrationella antal finns i överflöd, och något överraskande i en viss mening finns det mer irrationella nummer än rationella nummer. Andra irrationella nummer inkluderar pi och e.

Decimala utvidgningar

Varje reellt tal kan skrivas som en decimal. Olika typer av verkliga siffror har olika typer av decimalutvidgningar. Den decimala utvidgningen av ett rationellt tal avslutas, till exempel 2, 3,25 eller 1,2342, eller upprepa, till exempel .33333 ... Eller .123123123 ... I motsats till detta är decimalutvidgningen av ett irrationellt nummer icke-upphörande och icke upprepande. Vi kan se detta i den decimala utvidgningen av pi. Det finns en sträng med siffror för pi och dessutom finns det ingen sträng med siffror som på obestämd tid upprepar sig.

Visualisering av riktiga nummer

De verkliga siffrorna kan visualiseras genom att associera var och en av dem till en av det oändliga antalet punkter längs en rak linje. De verkliga siffrorna har en ordning, vilket innebär att vi för alla två distinkta verkliga siffror kan säga att det ena är större än det andra. I överensstämmelse med att flytta till vänster längs med den verkliga talraden motsvarar mindre och mindre antal. Att flytta till höger längs den verkliga talraden motsvarar större och större antal.

Grundläggande egenskaper för de verkliga siffrorna

De verkliga siffrorna uppför sig som andra siffror som vi är vana att ta itu med. Vi kan lägga till, subtrahera, multiplicera och dela dem (så länge vi inte delar med noll). Ordningen på tillägg och multiplikation är obetydlig, eftersom det finns en kommutativ egenskap. En distribuerande egenskap berättar hur multiplikation och tillägg interagerar med varandra.

Som nämnts tidigare har de verkliga siffrorna en ordning. Givet två riktiga siffror x och y, vi vet att en och en av följande är sant:

x = y, x < y eller x > y.

En annan egenskap - fullständighet

Egenskapen som skiljer de verkliga siffrorna från andra uppsättningar av siffror, som skälen, är en egenskap som kallas fullständighet. Fullständigheten är lite teknisk att förklara, men den intuitiva uppfattningen är att uppsättningen rationella siffror har luckor i den. Uppsättningen med verkliga siffror har inga luckor, eftersom den är komplett.

Som en illustration kommer vi att titta på sekvensen för rationella siffror 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, ... Varje term i denna sekvens är en approximation till pi, erhållen genom att avkorta decimaltillägget för pi. Villkoren för denna sekvens kommer närmare och närmare pi. Som vi nämnt är pi emellertid inte ett rationellt antal. Vi måste använda irrationella siffror för att ansluta hålen i nummerraden som uppstår genom att bara ta hänsyn till de rationella siffrorna.

Hur många verkliga siffror?

Det bör inte vara någon överraskning att det finns ett oändligt antal verkliga siffror. Detta kan ses ganska enkelt när vi anser att hela siffror utgör en delmängd av de verkliga siffrorna. Vi kunde också se detta genom att inse att sifferraden har ett oändligt antal poäng.

Det överraskande är att oändligheten som används för att räkna de verkliga siffrorna är av en annan typ än den oändlighet som används för att räkna hela siffrorna. Hela siffror, heltal och rationaler är oändliga. Uppsättningen med verkliga siffror är oändligt oändligt.

Varför kalla dem riktiga?

Riktiga nummer får sitt namn för att skilja dem från en ännu mer generalisering till begreppet nummer. Det imaginära numret jag definieras som kvadratroten av negativ. Vilket verkligt antal som multipliceras med jag är också känt som ett imaginärt nummer. Fantasiska nummer sträcker definitivt vår uppfattning om antal, eftersom de inte alls är vad vi tänkte på när vi först lärde oss räkna.