Vad är ett Sigma-fält?

Det finns många idéer från uppsättningsteori som har underlig sannolikhet. En sådan idé är att ett sigma-fält. Ett sigma-fält hänvisar till samlingen av delmängder av ett provutrymme som vi bör använda för att skapa en matematisk formell definition av sannolikhet. Uppsättningarna i sigma-fältet utgör händelserna från vårt exempelutrymme.

Definition

Definitionen av ett sigma-fält kräver att vi har ett provutrymme S tillsammans med en samling undergrupper av S. Denna samling av delmängder är ett sigma-fält om följande villkor är uppfyllda:

• Om delmängden EN är i sigma-fältet, då är dess komplement EN^C.
• Om EN_n  är oändligt många undergrupper från sigma-fältet, då finns både skärningspunkten och sammanslagningen av alla dessa uppsättningar också i sigma-fältet.

Implikationer

Definitionen innebär att två specifika uppsättningar är en del av varje sigma-fält. Eftersom båda EN och EN^C är i sigma-fältet, så är korsningen. Denna korsning är den tomma uppsättningen. Därför är den tomma uppsättningen en del av varje sigma-fält.

Provutrymmet S måste också vara en del av sigma-fältet. Anledningen till detta är att fackföreningen EN och EN^C måste vara i sigma-fältet. Denna union är provutrymmetS.

Resonemang

Det finns några orsaker till att denna speciella samling av uppsättningar är användbar. Först kommer vi att överväga varför både uppsättningen och dess komplement bör vara delar av sigma-algebra. Komplementet i uppsättningsteorin motsvarar negation. Elementen i komplementet till EN är elementen i den universella uppsättningen som inte är delar av EN. På detta sätt säkerställer vi att om en händelse är en del av provutrymmet så kommer den händelsen som inte inträffar också att betraktas som en händelse i provutrymmet.

Vi vill också att föreningen och skärningspunkten mellan en samling uppsättningar ska vara i sigma-algebra eftersom fackföreningar är användbara för att modellera ordet “eller.” Händelsen som EN eller B förekommer representeras av föreningen av EN och B. På liknande sätt använder vi korsningen för att representera ordet ”och.” Händelsen som EN och B uppstår representeras av skärningspunkten mellan uppsättningarna EN och B.

Det är omöjligt att korsa ett oändligt antal uppsättningar fysiskt. Vi kan dock tänka oss att göra detta som en gräns för ändliga processer. Därför inkluderar vi också korsningen och sammanslutningen av många många undergrupper. För många oändliga provutrymmen skulle vi behöva bilda oändliga fackföreningar och korsningar.

Relaterade idéer

Ett koncept som är relaterat till ett sigma-fält kallas ett fält av delmängder. Ett fält av delmängder kräver inte att oändligt många oändliga fackföreningar och korsning är en del av det. Istället behöver vi bara innehålla begränsade fackföreningar och korsningar i ett fält av undergrupper.