Vad är villkorlig sannolikhet?
Share
Ett enkelt exempel på villkorad sannolikhet är sannolikheten att ett kort som dras från ett standard kortlek är en kung. Det finns totalt fyra kungar av 52 kort, och därför är sannolikheten helt enkelt 4/52. När det gäller denna beräkning är följande fråga: "Vad är sannolikheten för att vi drar en kung med tanke på att vi redan har dragit ett kort från däcket och att det är ett ess?" Här tar vi hänsyn till innehållet på kortlek. Det finns fortfarande fyra kungar, men nu finns det bara 51 kort i däcket. Sannolikheten för att dra en kung med tanke på att ett ess redan har dragits är 4/51.
Villkorlig sannolikhet definieras som sannolikheten för en händelse med tanke på att en annan händelse har inträffat. Om vi namnger dessa händelser EN och B, då kan vi prata om sannolikheten för EN given B. Vi kan också hänvisa till sannolikheten för EN beroende av B.
Notation
Notationen för villkorad sannolikhet varierar från lärobok till lärobok. I alla notationerna är indikationen att sannolikheten vi hänvisar till är beroende av en annan händelse. En av de vanligaste notationerna för sannolikheten för EN given B är P (A | B). En annan notation som används är PB(A).
Formel
Det finns en formel för villkorad sannolikhet som kopplar detta till sannolikheten för EN och B:
P (A | B) = P (A B) / P (B)
I huvudsak vad denna formel säger är att för att beräkna händelsens villkorade sannolikhet EN med tanke på händelsen B, vi ändrar vårt exempelutrymme för att endast bestå av uppsättningen B. När vi gör detta tar vi inte hänsyn till hela evenemanget EN, men bara delen av EN som också finns i B. Uppsättningen som vi just beskrev kan identifieras i mer bekanta termer som skärningspunkten mellan EN och B.
Vi kan använda algebra för att uttrycka ovanstående formel på ett annat sätt:
P (A ^ B) = P (A | B) P (B)
Exempel
Vi kommer att gå igenom exemplet vi började med mot bakgrund av denna information. Vi vill veta sannolikheten för att dra en kung med tanke på att ett ess redan har dragits. Således händelsen EN är att vi drar en kung. Händelse B är att vi ritar ett ess.
Sannolikheten för att båda händelserna inträffar och vi drar ett ess och sedan en kung motsvarar P (A ∩ B). Värdet på denna sannolikhet är 12/2652. Sannolikheten för händelse B, att vi drar ett ess är 4/52. Således använder vi den villkorade sannolikhetsformeln och ser att sannolikheten för att dra en kung som ges än ett ess har dragits är (16/2652) / (4/52) = 4/51.
Ett annat exempel
För ett annat exempel kommer vi att titta på sannolikhetsexperimentet där vi rullar två tärningar. En fråga som vi kan ställa oss är: "Vad är sannolikheten för att vi har rullat en tre, med tanke på att vi har rullat en summa på mindre än sex?"
Här händelsen EN är att vi har rullat en tre, och händelsen B är att vi har rullat en summa mindre än sex. Det finns totalt 36 sätt att rulla två tärningar. Av dessa 36 sätt kan vi rulla en summa mindre än sex på tio sätt:
- 1 + 1 = 2
- 1 + 2 = 3
- 1 + 3 = 4
- 1 + 4 = 5
- 2 + 1 = 3
- 2 + 2 = 4
- 2 + 3 = 5
- 3 + 1 = 4
- 3 + 2 = 5
- 4 + 1 = 5
Oberoende händelser
Det finns vissa fall där den villkorade sannolikheten för EN med tanke på händelsen B är lika med sannolikheten för EN. I denna situation säger vi att händelserna EN och B är oberoende av varandra. Ovanstående formel blir:
