Vad är Cauchy-distributionen?

En distribution av en slumpmässig variabel är viktig inte för dess applikationer, utan för vad den berättar om våra definitioner. Cauchy-fördelningen är ett sådant exempel, ibland kallat ett patologiskt exempel. Anledningen till detta är att även om denna distribution är väl definierad och har en koppling till ett fysiskt fenomen, har distributionen inte ett medelvärde eller en varians. Faktum är att denna slumpmässiga variabel inte har en stundgenererande funktion.

Definition av Cauchy-distributionen

Vi definierar Cauchy-distributionen genom att överväga en spinnare, till exempel typen i ett brädspel. Centret för denna spinnare kommer att förankras på y axeln vid punkten (0, 1). Efter att ha snurrat spinnaren kommer vi att förlänga linjesegmentet för spinnaren tills den passerar x-axeln. Detta kommer att definieras som vår slumpmässiga variabel X.

Vi låter w beteckna de mindre av de två vinklarna som spinnaren gör med y axel. Vi antar att denna spinnare är lika sannolik att bilda valfri vinkel som en annan, och därför har W en enhetlig fördelning som sträcker sig från -π / 2 till π / 2.

Grundläggande trigonometri ger oss en koppling mellan våra två slumpmässiga variabler:

X = solbrännaW.

Den kumulativa fördelningsfunktionen för X härleds enligt följande:

H(x) = P(X < x) = P(solbränna W < x) = P(W < arctanX)

Vi använder sedan det faktum att W är enhetlig, och detta ger oss:

H(x) = 0,5 + (arctan x) / Π

För att erhålla sannolikhetsdensitetsfunktionen differentierar vi den kumulativa densitetsfunktionen. Resultatet är h(x) = 1/ [π (1 + x²)]

Funktioner i Cauchy Distribution

Det som gör Cauchy-distributionen intressant är att även om vi har definierat den med hjälp av det fysiska systemet för en slumpmässig spinner, har en slumpmässig variabel med en Cauchy-distribution inte en medel-, varians- eller momentgenererande funktion. Alla stunder om ursprunget som används för att definiera dessa parametrar finns inte.

Vi börjar med att överväga medelvärdet. Medlet definieras som det förväntade värdet för vår slumpmässiga variabel och så E [X] = ∫_-∞^∞x / [π (1 + x²)] dx.

Vi integrerar genom att använda substitution. Om vi ​​ställer in u = 1 +x² då ser vi att du = 2x dx. Efter att ha gjort substitutionen, konvergerar den resulterande felaktiga integralen inte. Detta innebär att det förväntade värdet inte finns, och att medelvärdet är odefinierat.

På samma sätt definieras variansen och momentgenereringsfunktionen.

Namngivande av Cauchy-distributionen

Cauchy-distributionen är uppkallad efter den franska matematikern Augustin-Louis Cauchy (1789 - 1857). Trots att denna distribution har namngivits för Cauchy, publicerades information om distributionen först av Poisson.