Vad är skillnaden mellan två uppsättningar i setteorin?

Skillnaden mellan två uppsättningar, skrivna EN - B är uppsättningen av alla element i EN som inte är delar av B. Skillnadsoperationen, tillsammans med förening och korsning, är en viktig och grundläggande uppsättningsteorioperation.

Beskrivning av skillnaden

Subtraktion av ett nummer från ett annat kan tänkas på många olika sätt. En modell för att hjälpa till med att förstå detta koncept kallas borttagningsmodellen för subtraktion. I detta skulle problemet 5 - 2 = 3 demonstreras genom att börja med fem objekt, ta bort två av dem och räkna att det fanns tre kvar. På liknande sätt som vi finner skillnaden mellan två siffror, kan vi hitta skillnaden mellan två uppsättningar.

Ett exempel

Vi kommer att titta på ett exempel på den inställda skillnaden. För att se hur skillnaden mellan två uppsättningar bildar en ny uppsättning, låt oss överväga uppsättningarna EN = 1, 2, 3, 4, 5 och B = 3, 4, 5, 6, 7, 8. Att hitta skillnaden EN - B av dessa två uppsättningar, börjar vi med att skriva alla elementen i EN, och ta bort alla delar av EN det är också en del av B. Eftersom EN delar elementen 3, 4 och 5 med B, detta ger oss den inställda skillnaden EN - B = 1, 2.

Order är viktigt

Precis som skillnaderna 4 - 7 och 7 - 4 ger oss olika svar, måste vi vara försiktiga med i vilken ordning vi beräknar den inställda skillnaden. För att använda en teknisk term från matematik, skulle vi säga att den inställda funktionen av skillnaden inte är kommutativ. Vad detta betyder är att vi i allmänhet inte kan ändra ordningen på skillnaden mellan två uppsättningar och förvänta oss samma resultat. Vi kan precisera det för alla uppsättningar EN och B, EN - B är inte lika med B - EN.

För att se detta, se tillbaka till exemplet ovan. Vi beräknade det för uppsättningarna EN = 1, 2, 3, 4, 5 och B = 3, 4, 5, 6, 7, 8, skillnaden EN - B = 1, 2. För att jämföra detta med B - EN, vi börjar med elementen i B, som är 3, 4, 5, 6, 7, 8 och sedan ta bort 3, 4 och 5 eftersom dessa är gemensamma med EN. Resultatet är B - EN = 6, 7, 8. Detta exempel visar oss tydligt A - B är inte lika med B - A.

Komplementet

En slags skillnad är tillräckligt viktig för att garantera sitt eget specialnamn och symbol. Detta kallas komplementet, och det används för den inställda skillnaden när den första uppsättningen är den universella uppsättningen. Komplementet av EN ges av uttrycket U - EN. Detta hänvisar till uppsättningen av alla element i den universella uppsättningen som inte är delar av EN. Eftersom det förstås att uppsättningen av element som vi kan välja från är hämtade från den universella uppsättningen, kan vi helt enkelt säga att komplementet till EN är uppsättningen som består av element som inte är delar av EN.

Komplementet av en uppsättning är relativt den universella uppsättningen som vi arbetar med. Med EN = 1, 2, 3 och U = 1, 2, 3, 4, 5, komplementet till EN är 4, 5. Om vår universella uppsättning är annorlunda, säg U = -3, -2, 0, 1, 2, 3, sedan komplementet till EN -3, -2, -1, 0. Var alltid noga med att vara uppmärksam på vilken universalsats som används.

Notation för komplementet

Ordet "komplement" börjar med bokstaven C, så det används i notationen. Komplementet av uppsättningen EN är skriven som EN^C. Så vi kan uttrycka definitionen av komplementet i symboler som: EN^C = U - EN.

Ett annat sätt som vanligtvis används för att beteckna komplementet till en uppsättning innebär en apostrof och är skriven som EN'.

Andra identiteter som involverar skillnaden och komplementen

Det finns många uppsatta identiteter som involverar användning av skillnaden och kompletterar operationer. Vissa identiteter kombinerar andra uppsättningar som korsningen och unionen. Några av de viktigare anges nedan. För alla uppsättningar EN, och B och D vi har:

• EN - EN = ∅
• EN - ∅ = EN
• ∅ - EN = ∅
• EN - U = ∅
• (EN^C)^C = EN
• DeMorgan's Law I: (EN ∩ B)^C = EN^C ∪ B^C
• DeMorgan's Law II: (EN ∪ B)^C = EN^C ∩ B^C