Vad är gammafunktionen?

Gamfunktionen är en något komplicerad funktion. Denna funktion används i matematisk statistik. Det kan betraktas som ett sätt att generalisera factorial. 

Faktoriet som funktion

Vi lär oss ganska tidigt i vår matematikkarriär som faktoriet, definierat för icke-negativa heltal n, är ett sätt att beskriva upprepad multiplikation. Det betecknas med användning av ett utropstecken. Till exempel:

3! = 3 x 2 x 1 = 6 och 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120.

Det enda undantaget från denna definition är noll factorial, där 0! = 1. När vi tittar på dessa värden för fabriken, kan vi para ihop n med n!. Detta skulle ge oss poäng (0, 1), (1, 1), (2, 2), (3, 6), (4, 24), (5, 120), (6, 720), och så på.

Om vi ​​planerar dessa punkter kan vi ställa några frågor:

• Finns det ett sätt att ansluta prickarna och fylla i diagrammet för fler värden?
• Finns det en funktion som matchar faktoriet för icke-negativa heltal, men definieras på en större delmängd av de verkliga siffrorna.

Svaret på dessa frågor är "Gamma-funktionen."

Definition av Gamma-funktionen

Definitionen av gammafunktionen är mycket komplex. Det innebär en komplicerad formel som ser väldigt konstig ut. Gamma-funktionen använder en del kalkyl i sin definition, liksom antalet e Till skillnad från mer bekanta funktioner såsom polynomier eller trigonometriska funktioner definieras gammafunktionen som en felaktig integral av en annan funktion.

Gamfunktionen betecknas med en gammal bokstavsgamma från det grekiska alfabetet. Detta ser ut enligt följande: Γ ( z )

Funktioner i Gamma-funktionen

Definitionen av gammafunktionen kan användas för att demonstrera ett antal identiteter. En av de viktigaste av dessa är att Γ ( z + 1) = z Γ ( z ). Vi kan använda detta och det faktum att Γ (1) = 1 från den direkta beräkningen:

Γ ( n ) = (n - 1) Γ ( n - 1) = (n - 1) (n - 2) Γ ( n - 2) = (n - 1)!

Ovanstående formel fastställer kopplingen mellan faktoriell och gammafunktion. Det ger oss också ett annat skäl till varför det är vettigt att definiera värdet på nollfaktoriet för att vara lika med 1.

Men vi behöver inte bara ange hela siffror i gammafunktionen. Alla komplexa nummer som inte är ett negativt heltal ligger inom gamma-funktionens domän. Detta innebär att vi kan utöka fakultetet till andra siffror än icke-heltal. Av dessa värden är ett av de mest kända (och överraskande) resultaten att Γ (1/2) = √π.

Ett annat resultat som liknar det sista är att Γ (1/2) = -2π. I själva verket producerar gammafunktionen alltid en utgång från en multipel av kvadratroten av pi när en udda multipel av 1/2 matas in i funktionen.

Användning av gammafunktionen

Gamfunktionen visas i många, till synes oberoende, matematikfält. I synnerhet är generaliseringen av faktoriet som tillhandahålls av gammafunktionen användbar i vissa kombinatorik- och sannolikhetsproblem. Vissa sannolikhetsfördelningar definieras direkt i termer av gammafunktionen. Till exempel anges gammafördelningen i termer av gammafunktionen. Denna fördelning kan användas för att modellera tidsintervallet mellan jordbävningar. Studentens t-fördelning, som kan användas för data där vi har en okänd befolkningsstandardavvikelse, och chi-kvadratfördelningen definieras också i termer av gammafunktionen.