Vad är korsningen mellan två uppsättningar?

När man hanterar uppsättningsteori finns det ett antal operationer för att göra nya uppsättningar ur gamla. En av de vanligaste inställda operationerna kallas korsningen. Enkelt sagt, skärningspunkten mellan två uppsättningar EN och B är uppsättningen av alla element som båda EN och B ha gemensamt.

Vi kommer att titta på detaljer rörande skärningspunkten i uppsättningsteori. Som vi kommer att se är nyckelordet här ordet "och".

Ett exempel

För ett exempel på hur skärningspunkten mellan två uppsättningar bildar en ny uppsättning, låt oss överväga uppsättningarna EN = 1, 2, 3, 4, 5 och B = 3, 4, 5, 6, 7, 8. För att hitta skärningspunkten mellan dessa två uppsättningar måste vi ta reda på vilka element de har gemensamt. Siffrorna 3, 4, 5 är beståndsdelar i båda uppsättningarna, därför skärningspunkten mellan EN och B är 3. 4. 5].

Notation för korsning

Förutom att förstå begreppen kring uppsättningsteorioperationer är det viktigt att kunna läsa symboler som används för att beteckna dessa operationer. Symbolen för korsning ersätts ibland av ordet “och” mellan två uppsättningar. Detta ord föreslår den mer kompakta notationen för en korsning som vanligtvis används.

Symbolen som används för skärningspunkten mellan de två uppsättningarna EN och B ges av EN ∩ B. Ett sätt att komma ihåg att denna symbol ∩ hänvisar till korsningen är att märka dess likhet med ett huvudstad A, som är förkortat ordet "och".

För att se denna notation i handling, se tillbaka exemplet ovan. Här hade vi seten EN = 1, 2, 3, 4, 5 och B = 3, 4, 5, 6, 7, 8. Så vi skulle skriva uppsättningen ekvation EN ∩ B = 3, 4, 5.

Korsning med den tomma uppsättningen

En grundläggande identitet som involverar korsningen visar oss vad som händer när vi tar skärningspunkten mellan alla uppsättningar med den tomma uppsättningen, betecknad med # 8709. Den tomma uppsättningen är uppsättningen utan element. Om det inte finns några element i minst en av de uppsättningar vi försöker hitta skärningspunkten mellan, har de två uppsättningarna inga gemensamma element. Med andra ord, skärningspunkten mellan alla uppsättningar med den tomma uppsättningen ger oss den tomma uppsättningen.

Denna identitet blir ännu mer kompakt med användningen av vår notation. Vi har identiteten: EN ∩ ∅ = ∅.

Korsning med universaluppsättningen

För det andra extrema, vad händer när vi undersöker skärningspunkten mellan en uppsättning och den universella uppsättningen? I likhet med hur ordet universum används i astronomi för att betyda allt, innehåller den universella uppsättningen varje element. Det följer att varje element i vår uppsättning också är ett element i den universella uppsättningen. Därför är skärningspunkten mellan varje uppsättning och den universella uppsättningen den uppsättning som vi började med.

Återigen vår notation räddas för att uttrycka denna identitet mer kortfattat. För alla uppsättningar EN och den universella uppsättningen U, EN ∩ U = EN.

Andra identiteter som involverar korsningen

Det finns många fler uppsatta ekvationer som involverar användningen av korsningsoperationen. Naturligtvis är det alltid bra att öva på att använda språket i setteorin. För alla uppsättningar EN, och B och D vi har:

• Reflexiv egenskap: EN ∩ EN =EN
• Kommutativ egendom: EN ∩ B = B ∩ EN
• Associativ egenskap: (EN ∩ B) ∩ D =EN ∩ (B ∩ D)
• Distributiv egendom: (EN ∪ B) ∩ D = (EN ∩ D) ∪ (B ∩ D)
• DeMorgan's Law I: (EN ∩ B)^C = EN^C ∪ B^C
• DeMorgan's Law II: (EN ∪ B)^C = EN^C ∩ B^C