Vad är St. Petersburg-paradoxen?

Du är på gatorna i S: t Petersburg, Ryssland, och en gammal man föreslår följande spel. Han vänder ett mynt (och lånar ett av er om du inte litar på att hans är rättvis). Om det landar svansar så förlorar du och spelet är över. Om myntet landar på huvudet vinner du en rubel och spelet fortsätter. Myntet kastas igen. Om det är svansar, slutar spelet. Om det är huvuden, vinner du ytterligare två rubel. Spelet fortsätter på detta sätt. För varje på varandra följande huvud fördubblar vi våra vinster från föregående omgång, men med tecken på den första svansen är spelet gjort.

Hur mycket skulle du betala för att spela det här spelet? När vi överväger det förväntade värdet på detta spel, bör du hoppa vid chansen, oavsett vad det kostar att spela. Men från beskrivningen ovan skulle du förmodligen inte vara villig att betala mycket. När allt kommer omkring finns det 50% sannolikhet för att inte vinna någonting. Detta är vad som kallas St. Petersburg-paradoxen, uppkallad på grund av Daniel Bernoullis publikation 1738 Kommentarer från Imperial Academy of Science of Saint Petersburg.

Vissa sannolikheter

Låt oss börja med att beräkna sannolikheter associerade med detta spel. Sannolikheten för att ett rättvist mynt landar upp är 1/2. Varje myntkastning är en oberoende händelse och så multiplicerar vi sannolikheter eventuellt med hjälp av ett träddiagram.

Sannolikheten för två huvuden i rad är (1/2)) x (1/2) = 1/4.
Sannolikheten för tre huvuden i rad är (1/2) x (1/2) x (1/2) = 1/8.
För att uttrycka sannolikheten för n huvuden i rad, där n är ett positivt heltal som vi använder exponenter för att skriva 1/2ⁿ.

Några utbetalningar

Låt oss nu gå vidare och se om vi kan generalisera vad vinsterna skulle vara i varje omgång.

Om du har ett huvud i den första omgången vinner du en rubel för den omgången.
Om det finns ett huvud i den andra omgången vinner du två rubel i den omgången.
Om det finns ett huvud i den tredje omgången, vinner du fyra rubel i den omgången.
Om du har haft turen att göra det hela vägen till n^th omgången, då vinner du 2^n-1 rubel i den omgången.

Spelets förväntade värde

Det förväntade värdet på ett spel berättar vad vinsterna skulle vara i genomsnitt om du spelade spelet många, många gånger. För att beräkna det förväntade värdet multiplicerar vi värdet på vinsten från varje omgång med sannolikheten för att komma till denna omgång och lägger sedan till alla dessa produkter tillsammans.

Från första omgången har du sannolikhet 1/2 och vinster på 1 rubel: 1/2 x 1 = 1/2
Från andra omgången har du sannolikhet 1/4 och vinster på 2 rubel: 1/4 x 2 = 1/2
Från första omgången har du sannolikhet 1/8 och vinster på 4 rubel: 1/8 x 4 = 1/2
Från första omgången har du sannolikhet 1/16 och vinster på 8 rubel: 1/16 x 8 = 1/2
Från första omgången har du sannolikhet 1/2ⁿ och vinster på 2^n-1 rubel: 1/2ⁿ x 2^n-1 = 1/2

Värdet från varje omgång är 1/2 och lägger till resultaten från den första n rundor tillsammans ger oss ett förväntat värde på n/ 2 rubel. Eftersom n kan vara vilket positivt heltal som helst, det förväntade värdet är obegränsat.

Paradoxen

Så vad ska du betala för att spela? En rubel, tusen rubel eller till och med en miljard rubel skulle i det långa loppet vara mindre än det förväntade värdet. Trots ovanstående beräkning som lovar otaliga rikedomar skulle vi alla fortfarande vara ovilliga att betala mycket för att spela.

Det finns många sätt att lösa paradoxen. Ett av de enklare sätten är att ingen skulle erbjuda ett spel som det som beskrivs ovan. Ingen har de oändliga resurserna som det skulle ta för att betala någon som fortsatte att vända huvudet.

Ett annat sätt att lösa paradoxen innebär att påpeka hur osannolikt det är att få något som 20 huvuden i rad. Oddsen för att detta händer är bättre än att vinna de flesta statliga lotterier. Människor spelar rutinmässigt sådana lotterier för fem dollar eller mindre. Så priset för att spela St. Petersburg-spelet bör förmodligen inte överstiga några dollar.

Om mannen i St Petersburg säger att det kommer att kosta något mer än några rubel att spela sitt spel, bör du artigt vägra och gå bort. Rubel är i alla fall inte värt mycket.

Vetenskap