Ajax är känd för sin storlek och styrka, så mycket att etikettraden för en populär rengöringsprodukt var "Ajax: Starkare än smuts." Det fanns faktiskt två grekiska hjältar i trojanskriget som hette Ajax. De Övrig, fysiskt mycket mindre Ajax är Oilean Ajax eller Ajax the Lesser.
Ajax den större visas med en stor sköld som jämförs med en vägg.
Ajax den Större var son till kungen på ön Salamis och halvbror till Teucer, en bågskytt på grekisk sida i Trojan-kriget. Teucers mamma var Hesione, syster till Trojan King Priam. Mor till Ajax var Periboea, dotter till Alcathus, son till Pelops, enligt Apollodorus III.12.7. Teucer och Ajax hade samma far, Argonaut och Calydonian vildjägare Telamon.
Namnet Ajax (Gk. Aias) sägs vara baserat på utseendet på en örn (Gk. Aietos) som skickats av Zeus som svar på Telamons bön för en son.
Ajax den Större var en av Helenas förrädare, varför han av Tyndareus-eden var skyldig att ansluta sig till de grekiska styrkorna i Trojan-kriget. Ajax bidrog med 12 fartyg från Salamis till kriget i Achaean.
Ajax och Hector kämpade i en enda strid. Deras kamp avslutades av heraldarna. De två hjältarna utbytte sedan gåvor, med Hector som fick ett bälte från Ajax och gav honom ett svärd. Det var med Ajax-bältet som Achilles drog Hector.
När Achilles dödades skulle hans rustning tilldelas den näst största grekiska hjälten. Ajax trodde att det borde gå till honom. Ajax blev arg och försökte döda sina kamrater när rustningen tilldelades Odysseus istället. Athena grep in genom att få Ajax att tro att nötkreatur var hans tidigare allierade. När han insåg att han hade slaktat besättningen begick han självmord som hans enda hederliga slut. Ajax använde svärdet som Hector hade gett honom för att döda sig själv.
Historien om galenskapen och skam begravning av Ajax visas i Lilla Iliaden. Se: "Ajax begravning i tidigt grekiskt epos" av Philip Holt; American Journal of Philology, Vol. 113, nr 3 (Autumn 1992), s. 319-331.
Även i hans efterliv i underjorden var Ajax fortfarande arg och skulle inte prata med Odysseus.