Beräkningar med gammafunktionen

Gamfunktionen definieras av följande komplicerade utseende formel:

Γ ( z ) = ∫₀^∞e ^{- t}t^z-1dt

En fråga som människor har när de möter denna förvirrande ekvation är: "Hur använder du denna formel för att beräkna värden på gammafunktionen?" Detta är en viktig fråga eftersom det är svårt att veta vad den här funktionen ens betyder och vad allt av symbolerna står för.

Ett sätt att svara på denna fråga är genom att titta på flera provberäkningar med gammafunktionen. Innan vi gör detta finns det några saker från beräkningen som vi måste veta, till exempel hur man integrerar en felaktig integral av typ I, och att e är en matematisk konstant. 

Motivering

Innan vi gör några beräkningar undersöker vi motivationen bakom dessa beräkningar. Många gånger dyker gammafunktionerna bakom kulisserna. Flera sannolikhetsdensitetsfunktioner anges i termer av gammafunktionen. Exempel på dessa inkluderar gammadistribution och elevernas t-distribution, vikten av gammafunktionen kan inte överskattas. 

Γ (1)

Det första exemplet som vi kommer att studera är att hitta värdet på gammafunktionen för Γ (1). Detta hittas genom inställning z = 1 i ovanstående formel:

∫₀^∞e ^{- t}dt

Vi beräknar integralen ovan i två steg:

• Den obestämda integralen ∫e ^{- t}dt= -e ^{- t} + C
• Detta är en felaktig integral, så vi har ∫₀^∞e ^{- t}dt = lim_{b → ∞} -e ^{- b} + e ⁰ = 1

Γ (2)

Nästa beräkning som vi kommer att överväga liknar det sista exemplet, men vi ökar värdet på z med 1. Vi beräknar nu värdet på gammafunktionen för Γ (2) genom att ställa in z = 2 i ovanstående formel. Stegen är desamma som ovan:

Γ (2) = ∫₀^∞e ^{- t}t dt

Den obestämda integralen ∫te ^{- t}dt=- te ^{- t} -e ^{- t} + C. Även om vi bara har ökat värdet på z med 1 tar det mer arbete att beräkna denna integral. För att hitta denna integral måste vi använda en teknik från kalkylen som kallas integration av delar. Vi använder nu gränserna för integration precis som ovan och behöver beräkna:

lim_{b → ∞} - vara ^{- b} -e ^{- b} -0e ⁰ + e ⁰.

Ett resultat från kalkylen känd som L'Hospitals regel tillåter oss att beräkna gränslimmen_{b → ∞} - vara ^{- b} = 0. Detta betyder att värdet på vår integral ovan är 1.

Γ (z +1) =zΓ (z )

En annan funktion hos gammafunktionen och en som kopplar den till fabriken är formeln Γ (z +1) =zΓ (z ) för z alla komplexa nummer med en positiv verklig del. Anledningen till att detta är sant är ett direkt resultat av formeln för gammafunktionen. Genom att använda integration av delar kan vi fastställa denna egenskap hos gammafunktionen.