Exempel på konfidensintervaller för medel

En av de viktigaste delarna av inferentialstatistiken är utvecklingen av sätt att beräkna konfidensintervall. Förtroendesintervall ger oss ett sätt att uppskatta en populationsparameter. I stället för att säga att parametern är lika med ett exakt värde, säger vi att parametern faller inom ett värdeintervall. Detta värdeintervall är vanligtvis en uppskattning, tillsammans med en felmarginal som vi lägger till och subtraherar från uppskattningen.

Till varje intervall är en nivå av förtroende. Nivån på förtroende ger en mätning av hur ofta, på lång sikt, metoden som används för att få vårt konfidensintervall fångar den verkliga populationsparametern.

Det är bra när du läser om statistik för att se några exempel som är utarbetade. Nedan kommer vi att titta på flera exempel på konfidensintervall om ett befolkningsmedelvärde. Vi kommer att se att metoden vi använder för att konstruera ett konfidensintervall om ett medel beror på ytterligare information om vår befolkning. Specifikt beror den strategi som vi tar på om vi känner till befolkningsstandardavvikelsen eller inte.

Uttalande om problem

Vi börjar med ett enkelt slumpmässigt urval av 25 en viss art av nyor och mäter deras svansar. Det genomsnittliga svanslängden för vårt prov är 5 cm.

1. Om vi ​​vet att 0,2 cm är standardavvikelsen för svanslängderna för alla newts i befolkningen, vad är ett 90% konfidensintervall för den genomsnittliga svanslängden för alla newts i befolkningen?
2. Om vi ​​vet att 0,2 cm är standardavvikelsen för svanslängderna för alla newts i befolkningen, vad är ett 95% konfidensintervall för den genomsnittliga svanslängden för alla newts i befolkningen?
3. Om vi ​​upptäcker att 0,2 cm är standardavvikelsen för svanslängderna för nyorna i vårt urval av befolkningen, vad är ett 90% konfidensintervall för den genomsnittliga svanslängden för alla nypar i befolkningen?
4. Om vi ​​upptäcker att 0,2 cm är standardavvikelsen för svanslängden hos nyorna i vårt urval av befolkningen, vad är ett 95% konfidensintervall för den genomsnittliga svanslängden för alla newts i befolkningen?

Diskussion av problemen

Vi börjar med att analysera vart och ett av dessa problem. I de två första problemen vet vi värdet på befolkningens standardavvikelse. Skillnaden mellan dessa två problem är att förtroendet är större i nr 2 än vad det är för nr 1.

I de två andra problemen är befolkningsstandardavvikelsen okänd. För dessa två problem beräknar vi denna parameter med provets standardavvikelse. Som vi såg i de två första problemen, här har vi också olika nivåer av förtroende.

lösningar

Vi kommer att beräkna lösningar för vart och ett av ovanstående problem.

1. Eftersom vi känner till befolkningsstandardavvikelsen kommer vi att använda en tabell över z-poäng. Värdet av z som motsvarar 90% konfidensintervall är 1.645. Genom att använda formeln för felmarginalen har vi ett konfidensintervall på 5 - 1.645 (0.2 / 5) till 5 + 1.645 (0.2 / 5). (De fem i nämnaren här beror på att vi har tagit kvadratroten av 25). Efter att ha gjort aritmetiken har vi 4,934 cm till 5,066 cm som ett konfidensintervall för befolkningsmedlet.
2. Eftersom vi känner till befolkningsstandardavvikelsen kommer vi att använda en tabell över z-poäng. Värdet av z som motsvarar ett 95% konfidensintervall är 1,96. Genom att använda formeln för felmarginalen har vi ett konfidensintervall på 5 - 1,96 (0,2 / 5) till 5 + 1,96 (0,2 / 5). Efter att ha gjort aritmetiken har vi 4,922 cm till 5,078 cm som ett konfidensintervall för befolkningsmedlet.
3. Här känner vi inte populationsstandardavvikelsen, bara provstandardavvikelsen. Således kommer vi att använda en tabell med t-poäng. När vi använder en tabell med t poäng vi behöver veta hur många frihetsgrader vi har. I det här fallet finns det 24 frihetsgrader, vilket är en mindre än provstorleken 25 t som motsvarar 90% konfidensintervall är 1,71. Genom att använda formeln för felmarginalen har vi ett konfidensintervall på 5 - 1,71 (0,2 / 5) till 5 + 1,71 (0,2 / 5). Efter att ha gjort aritmetiken har vi 4,932 cm till 5,068 cm som ett konfidensintervall för befolkningsmedlet.
4. Här känner vi inte populationsstandardavvikelsen, bara provstandardavvikelsen. Således kommer vi igen att använda en tabell med t-poäng. Det finns 24 frihetsgrader, vilket är en mindre än provstorleken på 25. Värdet av t som motsvarar ett 95% konfidensintervall är 2,06. Genom att använda formeln för felmarginal har vi ett konfidensintervall på 5 - 2,06 (0,2 / 5) till 5 + 2,06 (0,2 / 5). Efter att ha gjort aritmetiken har vi 4,912 cm till 5,082 cm som ett konfidensintervall för befolkningsmedlet.

Diskussion om lösningarna

Det är några saker att notera när man jämför dessa lösningar. Den första är att i varje fall när vår nivå av förtroende ökade, desto större blir värdet av z eller t som vi slutade med. Anledningen till detta är att vi behöver ett bredare intervall för att vara mer säkra på att vi verkligen fångade befolkningsmedlet i vårt förtroendeintervall..

Den andra funktionen att notera är att för ett visst konfidensintervall är de som använder t är bredare än de med z. Anledningen till detta är att a t distribution har större variation i svansarna än en vanlig normalfördelning.

Nyckeln till korrekta lösningar av dessa typer av problem är att om vi känner till befolkningsstandardavvikelsen använder vi en tabell med z-betyg. Om vi ​​inte känner till befolkningsstandardavvikelsen använder vi en tabell med t betygsättning.