Hur man beräknar variationen av en Poisson-distribution

Variansen för en fördelning av en slumpmässig variabel är en viktig funktion. Detta tal indikerar spridningen av en distribution, och den hittas genom att kvadratera standardavvikelsen. En vanligt förekommande diskret distribution är Poisson-distributionen. Vi kommer att se hur man beräknar variansen för Poisson-distributionen med parametern λ.

Poisson-distributionen

Poisson-fördelningar används när vi har ett kontinuum av något slag och räknar diskreta förändringar inom detta kontinuum. Detta inträffar när vi tar hänsyn till antalet personer som anländer till en filmbiljetträknare under en timme, håller reda på antalet bilar som reser genom en korsning med en fyrvägsstopp eller räknar antalet brister som uppstår i en längd av tråd.

Om vi ​​gör några klargörande antaganden i dessa scenarier, matchar dessa situationer villkoren för en Poisson-process. Vi säger sedan att den slumpmässiga variabeln, som räknar antalet förändringar, har en Poisson-fördelning.

Poisson-distributionen avser faktiskt en oändlig familj av distributioner. Dessa fördelningar är utrustade med en enda parameter λ. Parametern är ett positivt reellt antal som är nära besläktat med det förväntade antalet förändringar som observerats i kontinuummet. Vidare kommer vi att se att denna parameter är lika med inte bara medelvärdet för distributionen utan också distributionsvariationen.

Sannolikmassfunktionen för en Poisson-distribution ges av:

f(x) = (λx e-λ) /x!

I detta uttryck, brevet e är ett tal och är den matematiska konstanten med ett värde som är ungefär lika med 2,718281828. Variabeln x kan vara valfritt heltal.

Beräkna variationen

För att beräkna medelvärdet av en Poisson-distribution använder vi denna distributionens momentgenererande funktion. Vi ser det:

M( t ) = E [etX] = Σ etXf( x) = ΣetX λx e-λ) /x!

Vi minns nu Maclaurin-serien för e^u. Eftersom alla derivat av funktionen e^u är e^u, alla dessa derivat utvärderade till noll ger oss 1. Resultatet är serien e^u = Σ uⁿ/n!.

Med hjälp av Maclaurin-serien för e^u, vi kan uttrycka den ögonblick som genererar funktionen inte som en serie, utan i en sluten form. Vi kombinerar alla termer med exponenten för x. Således M(t) = e^{λ (et - 1)}.

Vi hittar nu variansen genom att ta det andra derivatet av M och utvärdera detta vid noll. Eftersom M'(t) = λe^tM(t) använder vi produktregeln för att beräkna det andra derivatet:

M"(t) = Λ2e2tM'(t) + λetM(t)

Vi utvärderar detta på noll och finner det M"(0) = X² + λ. Vi använder sedan det faktum att M'(0) = λ för att beräkna variansen.

var (X) = λ2 + λ - (λ)2 = λ.

Detta visar att parametern λ inte bara är medelvärdet för Poisson-distributionen utan också är dess varians.