Hur man bevisar kompletteringsregeln i sannolikhet

Flera orsaker om sannolikhet kan härledas från sannolikhetens axiomer. Dessa satser kan tillämpas för att beräkna sannolikheter som vi kanske vill veta. Ett sådant resultat kallas komplementregeln. Detta uttalande gör det möjligt för oss att beräkna sannolikheten för en händelse EN genom att känna till sannolikheten för komplementet EN^C. Efter att ha angett komplementregeln kommer vi att se hur detta resultat kan bevisas.

Kompletteringsregeln

Komplementet av evenemanget EN betecknas med EN^C. Komplementet av EN är uppsättningen av alla element i den universella uppsättningen, eller samplingsutrymmet S, som inte är delar av uppsättningen EN.

Komplementregeln uttrycks med följande ekvation:

P (EN^C) = 1 - P (EN)

Här ser vi att sannolikheten för en händelse och sannolikheten för dess komplement måste uppgå till 1.

Bevis på kompletteringsregeln

För att bevisa komplementregeln börjar vi med sannolikhetens axiomer. Dessa uttalanden antas utan bevis. Vi kommer att se att de systematiskt kan användas för att bevisa vårt uttalande om sannolikheten för att en händelse kompletteras.

• Den första axiom av sannolikhet är att sannolikheten för någon händelse är ett icke-negativt verkligt tal.
• Det andra axiomet av sannolikhet är att sannolikheten för hela provutrymmet S är en. Symboliskt skriver vi P (S) = 1.
• Det tredje sannolikhetsaxiomet säger att If EN och B är ömsesidigt exklusiva (vilket innebär att de har en tom korsning), då anger vi sannolikheten för att dessa händelser förenas som P (EN U B ) = P (EN) + P (B).

För komplementregeln behöver vi inte använda den första axiom i listan ovan.

För att bevisa vårt uttalande överväger vi händelserna ENoch EN^C. Från uppsättningsteori vet vi att dessa två uppsättningar har tom skärningspunkt. Detta beror på att ett element inte samtidigt kan vara i båda EN och inte i EN. Eftersom det finns ett tomt skärningspunkt är dessa två uppsättningar uteslutande.

Föreningen mellan de två evenemangen EN och EN^C är också viktiga. Dessa utgör uttömmande händelser, vilket innebär att föreningen mellan dessa händelser är hela provutrymmet S.

Dessa fakta, i kombination med axiomerna ger oss ekvationen

1 = P (S) = P (EN U EN^C) = P (EN) + P (EN^C) .

Den första jämställdheten beror på den andra sannolikhetsaxiom. Den andra jämlikheten beror på händelserna EN och EN^C är uttömmande. Den tredje jämställdheten beror på den tredje sannolikhetsaxiom.

Ovanstående ekvation kan ordnas om till den form som vi angav ovan. Allt vi måste göra är att subtrahera sannolikheten för EN från båda sidor av ekvationen. Således

1 = P (EN) + P (EN^C)

blir ekvationen

P (EN^C) = 1 - P (EN).

Naturligtvis kan vi också uttrycka regeln genom att säga att:

P (EN) = 1 - P (EN^C).

Alla dessa ekvationer är likvärdiga sätt att säga samma sak. Vi ser från detta bevis hur bara två axiomer och någon uppsättningsteori går långt för att hjälpa oss att bevisa nya uttalanden om sannolikhet.