Introduktion till vektormatematik

Detta är en grundläggande, men förhoppningsvis ganska omfattande, introduktion till att arbeta med vektorer. Vektorer manifesteras på många olika sätt från förskjutning, hastighet och acceleration till krafter och fält. Den här artikeln ägnas åt vektorns matematik; deras tillämpning i specifika situationer kommer att behandlas någon annanstans.

Vektorer och skalar

EN vektorkvantitet, eller vektor, ger information om inte bara storleken utan också riktningen för mängden. När du ger vägbeskrivning till ett hus räcker det inte att säga att det är 10 mil bort, men riktningen för dessa 10 mil måste också tillhandahållas för att informationen ska vara användbar. Variabler som är vektorer kommer att anges med en fetstilvariabel, även om det är vanligt att se vektorer betecknade med små pilar ovanför variabeln.

Precis som vi inte säger att det andra huset är -10 mil bort, är storleken på en vektor alltid ett positivt tal, eller snarare det absoluta värdet på vektorns "längd" (även om mängden kanske inte är längd, Det kan vara en hastighet, acceleration, kraft etc.) En negativ framför en vektor indikerar inte en förändring i storleken, utan snarare i vektorns riktning..

I exemplen ovan är avståndet den skalära kvantiteten (10 mil) men förflyttning är vektormängden (10 miles mot nordost). På liknande sätt är hastighet en skalmängd medan hastigheten är en vektorkvantitet.

EN enhetsvektor är en vektor som har en storlek på en. En vektor som representerar en enhetsvektor är vanligtvis också fetstil, även om den har en karat (^) ovanför för att ange variabelns enhetstyp. Enhetsvektorn x, när det skrivs med en karat, läses vanligtvis som "x-hat" eftersom karaten ser ut som en hatt på variabeln.

De noll vektor, eller null vektor, är en vektor med en storlek på noll. Det är skrivet som 0 i den här artikeln.

Vektorkomponenter

Vektorer är i allmänhet orienterade på ett koordinatsystem, varav den mest populära är det tvådimensionella kartesiska planet. Det kartesiska planet har en horisontell axel som är märkt x och en vertikal axel märkt y. Vissa avancerade tillämpningar av vektorer i fysik kräver användning av ett tredimensionellt utrymme, där axlarna är x, y och z. Den här artikeln kommer att handla mestadels om det tvådimensionella systemet, men koncepten kan utökas med viss omsorg till tre dimensioner utan för mycket besvär.

Vektorer i koordinatsystem med flera dimensioner kan delas upp i deras komponentvektorer. I det tvådimensionella fallet resulterar detta i a x-komponent och a y-komponent. När en vektor bryts i sina komponenter är vektorn en summa av komponenterna:

F = F_x + F_y

tetaF_xF_yF

F_x / F = cos teta och F_y / F = synd tetavilket ger oss
F_x = F cos teta och F_y = F synd teta

Observera att siffrorna här är storleken på vektorerna. Vi vet riktningen för komponenterna, men vi försöker hitta deras storlek, så vi tar bort riktningsinformationen och utför dessa skalberäkningar för att räkna ut storleken. Ytterligare tillämpning av trigonometri kan användas för att hitta andra förhållanden (som tangenten) som är relaterade mellan några av dessa mängder, men jag tror att det räcker för nu.

Under många år är den enda matematiken som en student lär sig är skalematematik. Om du reser 5 mil norrut och 5 mil öster, har du rest 10 mil. Om du lägger till skalfördelningar ignoreras all information om anvisningarna.

Vektorer manipuleras något annorlunda. Riktningen måste alltid beaktas när man manipulerar dem.

Lägga till komponenter

När du lägger till två vektorer är det som om du tog vektorerna och placerade dem från slutet till slutet och skapade en ny vektor som kör från startpunkten till slutpunkten. Om vektorerna har samma riktning, betyder det bara att lägga till storleken, men om de har olika riktningar kan det bli mer komplex.