Matematiska egenskaper hos vågor

Fysiska vågor, eller mekaniska vågor, bildas genom vibrationer av ett medium, vare sig det är en sträng, jordskorpan eller partiklar av gaser och vätskor. Vågor har matematiska egenskaper som kan analyseras för att förstå vågens rörelse. Den här artikeln introducerar dessa allmänna vågegenskaper snarare än hur man tillämpar dem i specifika fysiska situationer.

Tvärgående och längsgående vågor

Det finns två typer av mekaniska vågor.

A är sådan att förskjutningarna för mediet är vinkelräta (tvärgående) mot vågens rörelseriktning längs mediet. Att vibrera en sträng i periodisk rörelse, så vågorna rör sig längs den, är en tvärgående våg, liksom vågor i havet.

EN längsgående våg är sådan att förskjutningarna för mediet är fram och tillbaka i samma riktning som själva vågen. Ljudvågor, där luftpartiklarna skjuts längs rörelseriktningen, är ett exempel på en längsgående våg.

Även om de vågor som diskuteras i denna artikel kommer att hänvisa till resor i ett medium, kan matematiken som introduceras här användas för att analysera egenskaper hos icke-mekaniska vågor. Elektromagnetisk strålning kan till exempel resa genom tomt utrymme men har fortfarande samma matematiska egenskaper som andra vågor. Exempelvis är Doppler-effekten för ljudvågor välkänd, men det finns en liknande Doppler-effekt för ljusvågor, och de är baserade kring samma matematiska principer.

Vad som orsakar vågor?

1. Vågor kan ses som en störning i mediet runt ett jämviktstillstånd, som i allmänhet är i vila. Energin i denna störning är det som orsakar vågrörelsen. En vattenpool är i jämvikt när det inte finns några vågor, men så fort en sten kastas i den störs partiklarnas jämvikt och vågrörelsen börjar.
2. Störningen av vågen reser, eller propogates, med en bestämd hastighet, kallad våghastighet (v).
3. Vågor transporterar energi, men spelar ingen roll. Mediumet reser inte; de enskilda partiklarna genomgår fram och tillbaka eller upp och ner rörelse runt jämviktspositionen.

Vågfunktionen

För att matematiskt beskriva vågrörelse hänvisar vi till begreppet a vågfunktion, som beskriver positionen för en partikel i mediet när som helst. Den mest grundläggande av vågfunktioner är sinusvågen eller sinusvågen, som är en periodisk våg (dvs en våg med repetitiv rörelse).

Det är viktigt att notera att vågfunktionen inte visar den fysiska vågen utan snarare är en graf över förskjutningen kring jämviktspositionen. Detta kan vara ett förvirrande koncept, men det användbara är att vi kan använda en sinusformad våg för att skildra de flesta periodiska rörelser, som att röra sig i en cirkel eller svänga en pendel, som inte nödvändigtvis ser vågliknande när du ser det faktiska rörelse.

Egenskaper för Wave-funktionen

• våghastighet (v) - hastigheten på vågens förökning
• amplitud (EN) - den maximala storleken på förskjutningen från jämvikt, i SI-enheter av meter. I allmänhet är det avståndet från vågens jämvikt mittpunkt till dess maximala förskjutning, eller det är halva vågens totala förskjutning.
• period (T) - är tiden för en vågcykel (två pulser, eller från crest till crest eller trough till trough), i SI-enheter på sekunder (även om det kan kallas "sekunder per cykel").
• frekvens (f) - antalet cykler i en tidsenhet. SI-frekvensenheten är hertz (Hz) och

  1 Hz = 1 cykel / s = 1 s^-1

• vinkelfrekvens (ω) - är 2π gånger frekvensen, i SI-enheter av radianer per sekund.
• våglängd (λ) - avståndet mellan två punkter vid motsvarande positioner på varandra följande repetitioner i vågen, så (till exempel) från en kam eller tråg till nästa, i SI-enheter av meter. 
• vågenummer (k) - även kallad förökningskonstant, denna användbara mängd definieras som 2 π dividerat med våglängden, så SI-enheterna är radianer per meter.
• puls - en halv våglängd, från jämvikt tillbaka

Några användbara ekvationer för att definiera ovanstående mängder är:

v = λ / T = λ f

ω = 2 π f = 2 π/T

T = 1 / f = 2 π/ω

k = 2π/ω

ω = vk

Det vertikala läget för en punkt på vågen, y, kan hittas som en funktion av det horisontella läget, x, och tiden, t, när vi tittar på det. Vi tackar de vänliga matematikerna för att de gjorde detta arbete för oss och erhåller följande användbara ekvationer för att beskriva vågrörelsen:

y(x, t) = EN synd ω(t - x/v) = EN synd 2π f(t - x/v)

y(x, t) = EN synd 2π(t/T - x/v)

y (x, t) = EN synd (ω t - kx)

Vågekvationen

Ett sista särdrag i vågfunktionen är att tillämpning av kalkyl för att ta det andra derivatet ger vågekvation, vilket är en spännande och ibland användbar produkt (som vi än en gång tackar matematikerna för och accepterar utan att bevisa det):