Sannolikheter i spelmonopolet

Monopol är ett brädspel där spelare får tillämpa kapitalismen. Spelare köper och säljer fastigheter och debiterar varandra hyror. Även om det finns sociala och strategiska delar av spelet flyttar spelarna sina bitar runt brädet genom att rulla två sexsidiga standardtärningar. Eftersom detta styr hur spelarna rör sig finns det också en aspekt av sannolikheten för spelet. Genom att bara veta några fakta kan vi beräkna hur troligt det är att landa på vissa utrymmen under de första två varv i början av spelet.

Tärningen

På varje varv rullar en spelare två tärningar och flyttar sedan sin bit som många utrymmen på brädet. Så det är bra att granska sannolikheten för att rulla två tärningar. Sammanfattningsvis är följande summor möjliga:

En summa av två har sannolikhet 1/36.
En summa av tre har sannolikhet 2/36.
En summa på fyra har sannolikhet 3/36.
En summa av fem har sannolikhet 4/36.
En summa av sex har sannolikhet 5/36.
En summa av sju har sannolikhet 6/36.
En summa av åtta har sannolikhet 5/36.
En summa av nio har sannolikhet 4/36.
En summa på tio har sannolikhet 3/36.
En summa av elva har sannolikhet 2/36.
En summa av tolv har sannolikhet 1/36.

Dessa sannolikheter kommer att vara mycket viktiga när vi fortsätter.

Monopolspelet

Vi måste också notera Monopolspelet. Det finns totalt 40 utrymmen runt spelbordet, med 28 av dessa egenskaper, järnvägar eller verktyg som kan köpas. Sex utrymmen innebär att du drar ett kort från Chance eller Community Chest-högarna. Tre utrymmen är fria utrymmen där ingenting händer. Två utrymmen som innebär att betala skatt: antingen inkomstskatt eller lyxskatt. Ett utrymme skickar spelaren till fängelse.

Vi kommer bara att överväga de två första varvningarna i ett monopolspel. Under dessa svängar är det längsta vi kunde komma runt brädet att rulla tolv gånger och flytta totalt 24 utrymmen. Så vi kommer bara att undersöka de första 24 utrymmena på brädet. För att dessa utrymmen är:

Mediterranean Avenue
Community Chest
Baltic Avenue
Inkomstskatt
Läser järnvägen
Oriental Avenue
Chans
Vermont Avenue
Connecticutskatt
Bara besöker fängelse
St James Place
Elföretag
States Avenue
Virginia Avenue
Pennsylvania järnväg
St James Place
Community Chest
Tennessee Avenue
New York Avenue
Gratis parkering
Kentucky Avenue
Chans
Indiana Avenue
Illinois Avenue

Första svängen

Den första svängen är relativt enkel. Eftersom vi har möjligheter att rulla två tärningar, matchar vi dessa helt enkelt med lämpliga rutor. Till exempel är det andra utrymmet ett Community Chest square och det är en 1/36 sannolikhet att rulla en summa av två. Således finns det 1/36 sannolikhet för att landa på Community Chest på första svängen.

Nedan är sannolikheterna för att landa på följande utrymmen vid första svängen:

Gemenskapens bröst - 1/36
Baltic Avenue - 2/36
Inkomstskatt - 3/36
Läsning järnväg - 4/36
Oriental Avenue - 5/36
Chans - 6/36
Vermont Avenue - 5/36
Connecticutskatt - 4/36
Bara besöka fängelse - 3/36
St. James Place - 2/36
Elföretag - 1/36

Andra svängen

Att beräkna sannolikheterna för andra vändningen är något svårare. Vi kan rulla totalt två på båda svängarna och gå minst fyra mellanslag, eller totalt 12 på båda svängarna och gå maximalt 24 platser. Alla mellanrum mellan fyra och 24 kan också nås. Men dessa kan göras på olika sätt. Vi kan till exempel flytta totalt sju utrymmen genom att flytta någon av följande kombinationer:

Två mellanslag på den första svängen och fem rymden på den andra svängen
Tre mellanslag på den första svängen och fyra platserna på den andra svängen
Fyra mellanslag på den första svängen och tre rymden på den andra svängen
Fem utrymmen på den första svängen och två rymden på den andra svängen

Vi måste överväga alla dessa möjligheter när vi beräknar sannolikheter. Varje svängkast är oberoende av nästa svängkast. Så vi behöver inte oroa oss för villkorad sannolikhet, utan behöver bara multiplicera var och en av sannolikheterna:

Sannolikheten för att rulla en två och sedan en fem är (1/36) x (4/36) = 4/1296.
Sannolikheten för att rulla en tre och sedan en fyra är (2/36) x (3/36) = 6/1296.
Sannolikheten för att rulla en fyra och sedan en tre är (3/36) x (2/36) = 6/1296.
Sannolikheten för att rulla en fem och sedan en två är (4/36) x (1/36) = 4/1296.

Ömsesidigt exklusiv tilläggsregel

Andra sannolikheter för två varv beräknas på samma sätt. För varje fall behöver vi bara ta reda på alla möjliga sätt att få en total summa som motsvarar den fyrkanten på spelbrädet. Nedan visas sannolikheterna (avrundade till närmaste hundratals procent) för att landa på följande utrymmen på första svängen:

Inkomstskatt - 0,08%
Läser järnväg - 0,31%
Oriental Avenue - 0,77%
Chans - 1,54%
Vermont Avenue - 2,70%
Connecticut-skatt - 4,32%
Bara besöka fängelse - 6,17%
St. James Place - 8,02%
Elföretag - 9,65%
States Avenue - 10,80%
Virginia Avenue - 11,27%
Pennsylvania Railroad - 10,80%
St. James Place - 9,65%
Community Chest - 8,02%
Tennessee Avenue 6,17%
New York Avenue 4,32%
Gratis parkering - 2,70%
Kentucky Avenue - 1,54%
Chans - 0,77%
Indiana Avenue - 0,31%
Illinois Avenue - 0,08%

Mer än tre varv

För fler vändningar blir situationen ännu svårare. En anledning är att i spelets regler om vi rullar fördubblas tre gånger i rad går vi till fängelse. Denna regel kommer att påverka våra sannolikheter på sätt som vi inte behövde överväga tidigare. Utöver denna regel finns effekter från chansen och bröstkort som vi inte överväger. Vissa av dessa kort riktar spelare att hoppa över mellanslag och gå direkt till vissa platser.

På grund av den ökade beräkningskomplexiteten blir det lättare att beräkna sannolikheter för mer än bara några få varv med Monte Carlo-metoder. Datorer kan simulera hundratusentals om inte miljoner monopolspel, och sannolikheterna för att landa på varje utrymme kan beräknas empiriskt från dessa spel.

Vetenskap