Sannolikheter för att rulla två tärningar
Share
Ett populärt sätt att studera sannolikheten är att rulla tärningar. En standardmatris har sex sidor tryckta med små prickar som numrerar 1, 2, 3, 4, 5 och 6. Om matrisen är rättvis (och vi antar att alla är), är var och en av dessa resultat lika troliga. Eftersom det finns sex möjliga utfall är sannolikheten för att få någon sida av munstycket 1/6. Sannolikheten för att rulla en 1 är 1/6, sannolikheten för att rulla en 2 är 1/6 och så vidare. Men vad händer om vi lägger till en ny dyn? Vilka är sannolikheterna för att rulla två tärningar?
Tärningsrull sannolikhet
För att korrekt bestämma sannolikheten för en tärningsrulle måste vi veta två saker:
- Storleken på provutrymmet eller uppsättningen av totala möjliga resultat
- Hur ofta en händelse inträffar
En sannolikhet är att en händelse är en viss delmängd av provutrymmet. Till exempel, när endast en matris rullas, som i exemplet ovan, är provutrymmet lika med alla värden på matrisen eller setet (1, 2, 3, 4, 5, 6). Eftersom matrisen är rättvis inträffar varje nummer i uppsättningen endast en gång. Med andra ord, frekvensen för varje nummer är 1. För att bestämma sannolikheten för att rulla något av siffrorna på munstycket delar vi händelsefrekvensen (1) med storleken på provutrymmet (6), vilket resulterar i en sannolikhet av 1/6.
Att rulla två rättvisa tärningar mer än fördubblar svårigheten att beräkna sannolikheter. Detta beror på att rulla ett munstycke är oberoende av att rulla ett andra. En rulle har ingen effekt på den andra. När vi hanterar oberoende händelser använder vi multiplikationsregeln. Användningen av ett träddiagram visar att det finns 6 x 6 = 36 möjliga resultat från att rulla två tärningar.
Anta att den första matrisen vi rullar kommer upp som en 1. Den andra matrullen kan vara en 1, 2, 3, 4, 5 eller 6. Anta nu att den första dynan är en 2. Den andra matrullen kan vara a 1, 2, 3, 4, 5 eller 6. Vi har redan funnit 12 potentiella resultat och har ännu inte uttömt alla möjligheterna till den första dören.
Sannolikhetstabell med rullande två tärningar
De möjliga resultaten av att rulla två tärningar representeras i tabellen nedan. Observera att antalet totala möjliga utfall är lika med provutrymmet för det första munstycket (6) multiplicerat med provutrymmet för det andra munstycket (6), vilket är 36.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | (1, 1) | (1, 2) | (1, 3) | (1, 4) | (1, 5) | (1, 6) |
| 2 | (2, 1) | (2, 2) | (2, 3) | (2, 4) | (2, 5) | (2, 6) |
| 3 | (3, 1) | (3, 2) | (3, 3) | (3, 4) | (3, 5) | (3, 6) |
| 4 | (4, 1) | (4, 2) | (4, 3) | (4, 4) | (4, 5) | (4, 6) |
| 5 | (5, 1) | (5, 2) | (5, 3) | (5, 4) | (5, 5) | (5, 6) |
| 6 | (6, 1) | (6, 2) | (6, 3) | (6, 4) | (6, 5) | (6, 6) |
Tre eller fler tärningar
Samma princip gäller om vi arbetar med problem med tre tärningar. Vi multiplicerar och ser att det finns 6 x 6 x 6 = 216 möjliga resultat. Eftersom det blir tungvänt att skriva den upprepade multiplikationen kan vi använda exponenter för att förenkla arbetet. För två tärningar finns det 6 ^ 2 möjliga resultat. För tre tärningar finns det 6 ^ 3 möjliga resultat. I allmänhet, om vi rullar n tärningar, då finns det totalt 6 ^n möjliga resultat.
Exempel på problem
Med denna kunskap kan vi lösa alla möjliga sannolikhetsproblem:
1. Två sexsidiga tärningar rullas. Vad är troligt att summan av de två tärningarna är sju?
Det enklaste sättet att lösa problemet är att se tabellen ovan. Du kommer att märka att i varje rad finns det en tärningsrulle där summan av de två tärningarna är lika med sju. Eftersom det finns sex rader finns det sex möjliga utfall där summan av de två tärningarna är lika med sju. Antalet totala möjliga resultat förblir 36. Återigen finner vi sannolikheten genom att dela händelsefrekvensen (6) med storleken på provutrymmet (36), vilket resulterar i en sannolikhet på 1/6.
2. Två sexsidiga tärningar rullas. Vad är sannolikheten för att summan av de två tärningarna är tre?
I det föregående problemet kanske du har märkt att cellerna där summan av de två tärningarna är lika med sju bildar en diagonal. Samma sak gäller här, utom i det här fallet finns det bara två celler där summan av tärningarna är tre. Det beror på att det bara finns två sätt att få detta resultat. Du måste rulla en 1 och en 2 eller så måste du rulla en 2 och en 1. Kombinationerna för att rulla en summa av sju är mycket större (1 och 6, 2 och 5, 3 och 4, och så vidare). För att hitta sannolikheten för att summan av de två tärningarna är tre kan vi dela händelsefrekvensen (2) med storleken på provutrymmet (36), vilket resulterar i en sannolikhet på 1/18.
3. Två sexsidiga tärningar rullas. Vad är troligt att siffrorna på tärningarna är olika?
Återigen kan vi enkelt lösa detta problem genom att konsultera tabellen ovan. Du kommer att märka att cellerna där siffrorna på tärningarna är desamma utgör en diagonal. Det finns bara sex av dem, och när vi har korsat dem ut har vi de återstående cellerna där siffrorna på tärningarna är olika. Vi kan ta antalet kombinationer (30) och dela det med storleken på provutrymmet (36), vilket resulterar i en sannolikhet på 5/6.
