Sannolikheten för en liten rak i Yahtzee i en enda rulle

Yahtzee är ett tärningsspel som använder fem sexsidiga standardtärningar. På varje tur får spelarna tre rullar för att uppnå flera olika mål. Efter varje rullning kan en spelare bestämma vilka av tärningarna (om några) som ska behållas och vilka som ska rullas om. Målen inkluderar en mängd olika typer av kombinationer, av vilka många är hämtade från poker. Varje annan typ av kombination är värt en annan mängd poäng.

Två av de typer av kombinationer som spelare måste rulla kallas straights: en liten rak och en stor rak. Liksom raksträckor består dessa kombinationer av tärningar i följd. Små raksträckor använder fyra av de fem tärningarna och stora stakar använder alla fem tärningarna. På grund av slumpmässigheten av rullning av tärningar kan sannolikheten användas för att analysera hur troligt det är att rulla en liten rak i en enda rulle.

antaganden

Vi antar att tärningarna som används är rättvisa och oberoende av varandra. Således finns det ett enhetligt provutrymme bestående av alla möjliga rullar av de fem tärningarna. Även om Yahtzee tillåter tre rullar, för enkelhetens skull kommer vi bara att överväga att vi får en liten rak i en enda rulle.

Provutrymmet

Eftersom vi arbetar med ett enhetligt provutrymme blir beräkningen av vår sannolikhet en beräkning av ett par räkneproblem. Sannolikheten för en liten rak är antalet sätt att rulla en liten rak, dividerat med antalet resultat i provutrymmet.

Det är mycket lätt att räkna antalet resultat i provutrymmet. Vi rullar fem tärningar och var och en av dessa tärningar kan ha ett av sex olika resultat. En grundläggande tillämpning av multiplikationsprincipen säger att provutrymmet har 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 6⁵ = 7776 resultat. Detta nummer är nämnare för de bråk som vi använder för vår sannolikhet.

Antal rakar

Därefter måste vi veta hur många sätt det är att rulla en liten rak. Detta är svårare än att beräkna storleken på provutrymmet. Vi börjar med att räkna hur många straights som är möjliga.

En liten rak är lättare att rulla än en stor rak, men det är svårare att räkna antalet sätt att rulla denna typ av rak. En liten rak består av exakt fyra sekvensnummer. Eftersom det finns sex olika ansikten på matrisen finns det tre möjliga små raka linjer: 1, 2, 3, 4, 2, 3, 4, 5 och 3, 4, 5, 6. Svårigheten uppstår när man överväger vad som händer med den femte dören. I vart och ett av dessa fall måste den femte formen vara ett nummer som inte skapar en stor rak. Om till exempel de första fyra tärningarna var 1, 2, 3 och 4, kan den femte dynan vara allt annat än 5. Om den femte tärningen var en 5, skulle vi ha en stor rak snarare än en liten rak.

Detta innebär att det finns fem möjliga rullar som ger de små raka 1, 2, 3, 4, fem möjliga rullar som ger de små raka 3, 4, 5, 6 och fyra möjliga rullar som ger de små raka 2, 3, 4, 5. Detta sista fall är annorlunda eftersom rullning av en 1 eller en 6 för den femte matchen kommer att förändras 2, 3, 4, 5 till en stor rak. Det betyder att det finns 14 olika sätt att fem tärningar kan ge oss en liten rak.

Nu bestämmer vi olika antal sätt att rulla en viss uppsättning tärningar som ger oss en rak. Eftersom vi bara behöver veta hur många sätt det finns att göra så kan vi använda några grundläggande räknatekniker.

Av de 14 distinkta sätten att få små straights är endast två av dessa 1,2,3,4,6 och 1,3,4,5,6 uppsättningar med distinkta element. Det finns 5! = 120 sätt att rulla var och en till totalt 2 x 5! = 240 små raka.

De andra 12 sätten att ha en liten rak är tekniskt multisets eftersom de alla innehåller ett upprepat element. För en viss multiset, till exempel [1,1,2,3,4], kommer vi att räkna antalet olika sätt att rulla detta. Tänk på tärningarna som fem positioner i rad:

• Det finns C (5,2) = 10 sätt att placera de två upprepade elementen bland de fem tärningarna.
• Det finns 3! = 6 sätt att ordna de tre distinkta elementen.

Genom multiplikationsprincipen finns det 6 x 10 = 60 olika sätt att rulla tärningarna 1,1,2,3,4 i en enda rulle.

Det finns 60 sätt att rulla en så liten rak med just denna femte matris. Eftersom det finns 12 multisets som ger en annan lista med fem tärningar, finns det 60 x 12 = 720 sätt att rulla en liten rak där två tärningar matchar.

Totalt finns det 2 x 5! + 12 x 60 = 960 sätt att rulla en liten rak.