Förstå ekvivalenta ekvationer i algebra

Ekvivalenta ekvationer är system för ekvationer som har samma lösningar. Att identifiera och lösa ekvivalenta ekvationer är en värdefull färdighet, inte bara i algebraklassen utan också i vardagen. Ta en titt på exempel på ekvivalenta ekvationer, hur du löser dem för en eller flera variabler och hur du kan använda den här färdigheten utanför ett klassrum.

Key Takeaways

• Ekvivalenta ekvationer är algebraiska ekvationer som har identiska lösningar eller rötter.
• Att lägga till eller subtrahera samma antal eller uttryck på båda sidorna av en ekvation ger en ekvivalent ekvation.
• Att multiplicera eller dela båda sidor av en ekvation med samma antal som inte är noll ger en ekvivalent ekvation.

Linjära ekvationer med en variabel

De enklaste exemplen på ekvivalenta ekvationer har inga variabler. Till exempel är dessa tre ekvationer ekvivalenta med varandra:

• 3 + 2 = 5
• 4 + 1 = 5
• 5 + 0 = 5

Att erkänna att dessa ekvationer är likvärdiga är bra, men inte särskilt användbart. Vanligtvis ber ett ekvivalent ekvationsproblem dig lösa för en variabel för att se om det är detsamma (samma rot) som den i en annan ekvation.

Till exempel är följande ekvationer ekvivalenta:

• x = 5
• -2x = -10

I båda fallen, x = 5. Hur vet vi det? Hur löser du detta för "-2x = -10" ekvationen? Det första steget är att känna till reglerna för ekvivalenta ekvationer:

• Att lägga till eller subtrahera samma antal eller uttryck på båda sidorna av en ekvation ger en ekvivalent ekvation.
• Att multiplicera eller dela båda sidor av en ekvation med samma antal som inte är noll ger en ekvivalent ekvation.
• Att höja båda sidorna av ekvationen till samma udda effekt eller ta samma udda rot kommer att ge en ekvivalent ekvation.
• Om båda sidorna i en ekvation är icke-negativ, kommer att höja båda sidor av en ekvation till samma jämna kraft eller ta samma jämna rot ger en ekvivalent ekvation.

Exempel

Utföra dessa regler i praktiken och bestäm om dessa två ekvationer är likvärdiga:

• x + 2 = 7
• 2x + 1 = 11

För att lösa detta måste du hitta "x" för varje ekvation. Om "x" är samma för båda ekvationerna, är de ekvivalenta. Om "x" är annorlunda (dvs. ekvationerna har olika rötter) är ekvationerna inte ekvivalenta. För den första ekvationen:

• x + 2 = 7
• x + 2 - 2 = 7 - 2 (subtrahera båda sidor med samma nummer)
• x = 5

För den andra ekvationen:

• 2x + 1 = 11
• 2x + 1 - 1 = 11 - 1 (subtrahera båda sidor med samma nummer)
• 2x = 10
• 2x / 2 = 10/2 (dela båda sidor av ekvationen med samma antal)
• x = 5

Så ja, de två ekvationerna är likvärdiga eftersom x = 5 i båda fallen.