Vad är De Morgan's lagar?
Share
Matematisk statistik kräver ibland användning av uppsättningsteori. De Morgan lagar är två uttalanden som beskriver interaktioner mellan olika uppsättningsteori operationer. Lagarna är de för alla två uppsättningar EN och B:
- (EN ∩ B)C = ENC U BC.
- (EN U B)C = ENC ∩ BC.
Efter att ha förklarat vad vart och ett av dessa uttalanden innebär kommer vi att titta på ett exempel på var och en av dessa som används.
Ställ in teorioperationer
För att förstå vad De Morgan's Laws säger, måste vi komma ihåg några definitioner av uppsättningsteorioperationer. Specifikt måste vi veta om förening och skärningspunkt mellan två uppsättningar och komplementet till en uppsättning.
De Morgan's Laws avser samverkan mellan facket, skärningspunkten och komplementen. Minnas det:
- Korsningen mellan uppsättningarna EN och B består av alla element som är gemensamma för båda EN och B. Korsningen betecknas med EN ∩ B.
- Föreningen mellan uppsättningarna EN och B består av alla element som i endera EN eller B, inklusive elementen i båda uppsättningarna. Korsningen betecknas av A U B.
- Komplementet av uppsättningen EN består av alla element som inte är delar av EN. Detta komplement betecknas av AC.
Nu när vi har erinrat om dessa elementära operationer kommer vi att se uttalandet om De Morgan's Laws. För varje par uppsättningar EN och B vi har:
- (EN ∩ B)C = ENC U BC
- (EN U B)C = ENC ∩ BC
Dessa två uttalanden kan illustreras med hjälp av Venn-diagram. Som vi ser nedan kan vi demonstrera med hjälp av ett exempel. För att visa att dessa uttalanden är sanna, måste vi bevisa dem genom att använda definitioner av uppsättningsteorioperationer.
Exempel på De Morgan's Laws
Tänk till exempel uppsättningen med verkliga siffror från 0 till 5. Vi skriver detta i intervallnotation [0, 5]. Inom denna uppsättning har vi EN = [1, 3] och B = [2, 4]. Dessutom, efter att ha tillämpat vår elementära verksamhet har vi:
- Komplementet ENC = [0, 1) U (3, 5)
- Komplementet BC = [0, 2) U (4, 5)
- Unionen EN U B = [1, 4]
- Korsningen EN ∩ B = [2, 3]
Vi börjar med att beräkna unionen ENC U BC. Vi ser att föreningen av [0, 1) U (3, 5] med [0, 2) U (4, 5] är [0, 2) U (3, 5]. EN ∩ B är [2, 3]. Vi ser att komplementet till denna uppsättning [2, 3] också är [0, 2) U (3, 5]. På detta sätt har vi visat att ENC U BC = (EN ∩ B)C.
Nu ser vi skärningspunkten mellan [0, 1) U (3, 5] med [0, 2) U (4, 5] är [0, 1) U (4, 5]. Vi ser också att komplementet till [ 1, 4] är också [0, 1) U (4, 5]. På detta sätt har vi visat det ENC ∩ BC = (EN U B)C.
Namngivning av De Morgan's Laws
Under logikens historia har människor som Aristoteles och William av Ockham uttalat motsvarande De Morgan's Laws.
De Morgan lagar är uppkallad efter Augustus De Morgan, som levde från 1806-1871. Även om han inte upptäckte dessa lagar, var han den första som introducerade dessa uttalanden formellt med en matematisk formulering i propositionslogik.
