Vad är ögonblick i statistik?

Momenter i matematisk statistik innebär en grundberäkning. Dessa beräkningar kan användas för att hitta en sannolikhetsfördelnings medelvärde, varians och skevhet.

Anta att vi har en uppsättning data med totalt n diskreta punkter. En viktig beräkning, som faktiskt är flera siffror, kallas sdet ögonblicket. De sdatauppsättningens moment med värden x₁, x₂, x₃,... , x_n ges med formeln:

(x₁^s + x₂^s + x₃^s +... + x_n^s) /n

Att använda denna formel kräver att vi är försiktiga med vår ordning för verksamheten. Vi måste göra exponenterna först, lägga till och sedan dela denna summa med n det totala antalet datavärden.

En anmärkning om termen "Moment"

Termen ögonblick har tagits från fysik. I fysiken beräknas ögonblicket för ett system med punktmassor med en formel som är identisk med den ovan, och denna formel används för att hitta poängmassans centrum. I statistik är värdena inte längre massor, men som vi kommer att se, mäter moment i statistik fortfarande något relativt värdet mitt.

Första ögonblicket

För det första ögonblicket ställer vi in s = 1. Formeln för det första ögonblicket är således:

(x₁x₂ + x₃ +... + x_n) /n

Detta är identiskt med formeln för provmedlet.

Det första ögonblicket för värdena 1, 3, 6, 10 är (1 + 3 + 6 + 10) / 4 = 20/4 = 5.

Andra ögonblicket

För det andra ögonblicket ställer vi in s = 2. Formeln för det andra ögonblicket är:

(x₁² + x₂² + x₃² +... + x_n²) /n

Det andra ögonblicket för värdena 1, 3, 6, 10 är (1² + 3² + 6² + 10²) / 4 = (1 + 9 + 36 + 100) / 4 = 146/4 = 36,5.

Tredje ögonblicket

För det tredje ögonblicket ställer vi in s = 3. Formeln för det tredje ögonblicket är:

(x₁³ + x₂³ + x₃³ +... + x_n³) /n

Det tredje ögonblicket för värdena 1, 3, 6, 10 är (1³ + 3³ + 6³ + 10³) / 4 = (1 + 27 + 216 + 1000) / 4 = 1244/4 = 311.

Högre moment kan beräknas på liknande sätt. Byt bara ut s i ovanstående formel med numret som anger det önskade ögonblicket.

Ögonblick om medelvärdet

En relaterad idé är den av sdet ögonblicket om medelvärdet. I denna beräkning utför vi följande steg:

1. Beräkna först medelvärdet av värdena.
2. Därefter subtraheras detta medelvärde från varje värde.
3. Höj sedan var och en av dessa skillnader till sth makt.
4. Lägg nu till siffrorna från steg 3 tillsammans.
5. Slutligen dela denna summa med antalet värden vi började med.

Formeln för sdet ögonblicket om medelvärdet m av värdena x₁, x₂, x₃,... , x_n ges av:

m_s = ((x₁ - m)^s + (x₂ - m)^s + (x₃ - m)^s +... + (x_n - m)^s) /n

Första ögonblicket om medelvärdet

Det första ögonblicket om medelvärdet är alltid lika med noll, oavsett vilken datauppsättning vi arbetar med. Detta kan ses på följande:

m₁ = ((x₁ - m) + (x₂ - m) + (x₃ - m) +… + (x_n - m)) /n = ((x₁+ x₂ + x₃ +... + x_n) - nm) /n = m - m = 0.

Andra momentet om medelvärdet

Det andra ögonblicket om medelvärdet erhålls från ovanstående formel genom inställnings = 2:

m₂ = ((x₁ - m)² + (x₂ - m)² + (x₃ - m)² +... + (x_n - m)²) /n

Denna formel är ekvivalent med den för provvariansen.

Tänk till exempel uppsättningen 1, 3, 6, 10. Vi har redan beräknat medelvärdet för denna uppsättning till 5. Dra bort detta från var och en av datavärdena för att få skillnader i:

• 1 - 5 = -4
• 3 - 5 = -2
• 6 - 5 = 1
• 10 - 5 = 5

Vi kvadrerar vart och ett av dessa värden och lägger till dem: (-4)² + (-2)² + 1² + 5² = 16 + 4 + 1 + 25 = 46. Dela slutligen detta nummer med antalet datapunkter: 46/4 = 11,5

Tillämpningar av ögonblick

Som nämnts ovan är det första ögonblicket medelvärdet och det andra ögonblicket om medelvärdet är provvariansen. Karl Pearson introducerade användningen av det tredje ögonblicket om medelvärdet för att beräkna skevhet och det fjärde ögonblicket om medelvärdet vid beräkningen av kurtos.