Sannolikheter för att rulla tre tärningar

Tärningar ger bra illustrationer för begrepp med sannolikhet. De vanligaste tärningarna är kuber med sex sidor. Här ser vi hur man beräknar sannolikheter för att rulla tre standardtärningar. Det är ett relativt standardproblem att beräkna sannolikheten för summan erhållen genom att rulla två tärningar. Det finns totalt 36 olika rullar med två tärningar, med vilken summa som är från 2 till 12 möjligt. Hur förändras problemet om vi lägger till fler tärningar?

Möjliga resultat och summar

Precis som en dör har sex resultat och två tärningar har 6² = 36 resultat, sannolikhetsförsöket att rulla tre tärningar har 6³ = 216 resultat. Denna idé generaliseras ytterligare för fler tärningar. Om vi rullar n tärningar så finns det 6ⁿ utfall.

Vi kan också överväga de möjliga summorna från att rulla flera tärningar. Minsta möjliga summa inträffar när alla tärningar är de minsta eller en vardera. Detta ger en summa av tre när vi rullar tre tärningar. Det största antalet på en dyn är sex, vilket betyder att den största möjliga summan inträffar när alla tre tärningarna är sex. Summan av denna situation är 18.

När n tärningar rullas, minsta möjliga summa är n och den största möjliga summan är 6n.

Det finns ett möjligt sätt tre tärningar kan totalt 3
3 sätt för 4
6 för 5
10 för 6
15 för 7
21 för 8
25 för 9
27 för 10
27 för 11
25 för 12
21 för 13
15 för 14
10 för 15
6 för 16
3 för 17
1 för 18

Bildar sommar

Som diskuterats ovan, för tre tärningar inkluderar de möjliga summorna varje nummer från tre till 18. Sannolikheterna kan beräknas genom att använda räknestrategier och erkänna att vi letar efter sätt att dela upp ett nummer i exakt tre heltal. Till exempel är det enda sättet att erhålla en summa av tre 3 = 1 + 1 + 1. Eftersom varje matris är oberoende av de andra, kan en summa som fyra erhållas på tre olika sätt:

1 + 1 + 2
1 + 2 + 1
2 + 1 + 1

Ytterligare räkneargumenter kan användas för att hitta antalet sätt att bilda de andra summorna. Partitionerna för varje summa följer:

3 = 1 + 1 + 1
4 = 1 + 1 + 2
5 = 1 + 1 + 3 = 2 + 2 + 1
6 = 1 + 1 + 4 = 1 + 2 + 3 = 2 + 2 + 2
7 = 1 + 1 + 5 = 2 + 2 + 3 = 3 + 3 + 1 = 1 + 2 + 4
8 = 1 + 1 + 6 = 2 + 3 + 3 = 4 + 3 + 1 = 1 + 2 + 5 = 2 + 2 + 4
9 = 6 + 2 + 1 = 4 + 3 + 2 = 3 + 3 + 3 = 2 + 2 + 5 = 1 + 3 + 5 = 1 + 4 + 4
10 = 6 + 3 + 1 = 6 + 2 + 2 = 5 + 3 + 2 = 4 + 4 + 2 = 4 + 3 + 3 = 1 + 4 + 5
11 = 6 + 4 + 1 = 1 + 5 + 5 = 5 + 4 + 2 = 3 + 3 + 5 = 4 + 3 + 4 = 6 + 3 + 2
12 = 6 + 5 + 1 = 4 + 3 + 5 = 4 + 4 + 4 = 5 + 2 + 5 = 6 + 4 + 2 = 6 + 3 + 3
13 = 6 + 6 + 1 = 5 + 4 + 4 = 3 + 4 + 6 = 6 + 5 + 2 = 5 + 5 + 3
14 = 6 + 6 + 2 = 5 + 5 + 4 = 4 + 4 + 6 = 6 + 5 + 3
15 = 6 + 6 + 3 = 6 + 5 + 4 = 5 + 5 + 5
16 = 6 + 6 + 4 = 5 + 5 + 6
17 = 6 + 6 + 5
18 = 6 + 6 + 6

När tre olika siffror bildar partitionen, till exempel 7 = 1 + 2 + 4, finns det 3! (3x2x1) olika sätt att permutera dessa nummer. Så detta skulle räkna till tre resultat i provutrymmet. När två olika nummer bildar partitionen, finns det tre olika sätt att permutera dessa nummer.

Specifika sannolikheter

Vi delar det totala antalet sätt att få varje summa med det totala antalet resultat i provutrymmet, eller 216. Resultaten är:

Sannolikhet för en summa av 3: 1/216 = 0,5%
Sannolikhet för en summa av 4: 3/216 = 1,4%
Sannolikhet för en summa av 5: 6/216 = 2,8%
Sannolikhet för en summa av 6: 10/216 = 4,6%
Sannolikhet för en summa av 7: 15/216 = 7,0%
Sannolikhet för en summa av 8: 21/216 = 9,7%
Sannolikhet för summan 9: 25/216 = 11,6%
Sannolikhet för en summa av 10: 27/216 = 12,5%
Sannolikhet för en summa av 11: 27/216 = 12,5%
Sannolikhet för en summa av 12: 25/216 = 11,6%
Sannolikhet för en summa av 13: 21/216 = 9,7%
Sannolikhet för en summa av 14: 15/216 = 7,0%
Sannolikhet för en summa av 15: 10/216 = 4,6%
Sannolikhet för en summa av 16: 6/216 = 2,8%
Sannolikhet för en summa av 17: 3/216 = 1,4%
Sannolikhet för en summa av 18: 1/216 = 0,5%

Som kan ses är de extrema värdena 3 och 18 minst troliga. De summor som är exakt i mitten är de mest troliga. Detta motsvarar vad som observerades när två tärningar rullades.

Vetenskap