Sannolikhet för unionen av 3 eller fler uppsättningar

När två händelser är ömsesidigt exklusiva kan sannolikheten för deras förening beräknas med tilläggsregeln. Vi vet att för rullning av en matris är rullning av ett nummer större än fyra eller ett antal mindre än tre ömsesidigt exklusiva händelser, med inget gemensamt. Så för att hitta sannolikheten för denna händelse lägger vi bara till sannolikheten att vi rullar ett nummer som är större än fyra till sannolikheten för att vi rullar ett nummer mindre än tre. I symboler har vi följande, där huvudstaden P betecknar "sannolikhet för":

P(större än fyra eller mindre än tre) = P(större än fyra) + P(mindre än tre) = 2/6 + 2/6 = 4/6.

Om händelserna är inte ömsesidigt uteslutande, då lägger vi inte bara till händelsernas sannolikheter, utan vi måste subtrahera sannolikheten för korsningen mellan händelserna. Med tanke på händelserna EN och B:

P(EN U B) = P(EN) + P(B) - P(EN ∩ B).

Här redogör vi för möjligheten att dubbelräkna de element som finns i båda EN och B, och det är därför vi subtraherar sannolikheten för korsningen.

Frågan som uppstår härifrån är: ”Varför sluta med två uppsättningar? Vad är sannolikheten för förening av mer än två uppsättningar? ”

Formel för Union of 3 Sets

Vi kommer att utöka ovanstående idéer till situationen där vi har tre uppsättningar, som vi kommer att beteckna EN, B, och C. Vi kommer inte att anta något mer än detta, så det finns möjligheten att uppsättningarna har en icke-tom skärningspunkt. Målet kommer att vara att beräkna sannolikheten för förening av dessa tre uppsättningar, eller P (EN U B U C).

Ovanstående diskussion för två uppsättningar gäller fortfarande. Vi kan lägga till sannolikheten för de enskilda uppsättningarna EN, B, och C, men genom att göra detta har vi dubbelräknat några element.

Elementen i skärningspunkten mellan EN och B har räknats dubbelt som tidigare, men nu finns det andra element som potentiellt har räknats två gånger. Elementen i skärningspunkten mellan EN och C och i skärningspunkten mellan B och C har nu också räknats två gånger. Så sannolikheterna för dessa korsningar måste också subtraheras.

Men har vi dragit för mycket? Det finns något nytt att tänka på som vi inte behövde vara oroliga när det bara fanns två uppsättningar. Precis som alla två uppsättningar kan ha en korsning, kan alla tre uppsättningar också ha en korsning. När vi försökte se till att vi inte räknade något, har vi inte räknat med alla de element som dyker upp i alla tre uppsättningarna. Så sannolikheten för skärningspunkten mellan alla tre uppsättningarna måste läggas in igen.

Här är formeln som härrör från diskussionen ovan:

P (EN U B U C) = P(EN) + P(B) + P(C) - P(EN ∩ B) - P(EN ∩ C) - P(B ∩ C) + P(EN ∩ B ∩ C)

Exempel som involverar 2 tärningar

För att se formeln för sannolikheten för förening av tre uppsättningar, anta att vi spelar ett brädspel som innebär att du rullar två tärningar. På grund av spelets regler måste vi få åtminstone en av dö för att vara en två, tre eller fyra för att vinna. Vad är sannolikheten för detta? Vi noterar att vi försöker beräkna sannolikheten för förening av tre händelser: rulla minst en två, rulla minst en tre, rulla minst en fyra. Så vi kan använda ovanstående formel med följande sannolikheter:

Sannolikheten för att rulla en två är 11/36. Räknaren här kommer från det faktum att det finns sex resultat där det första matris är ett två, sex där det andra är ett två, och ett resultat där båda tärningarna är två. Detta ger oss 6 + 6 - 1 = 11.
Sannolikheten för att rulla en tre är 11/36, av samma skäl som ovan.
Sannolikheten för att rulla en fyr är 11/36, av samma skäl som ovan.
Sannolikheten för att rulla en två och en tre är 2/36. Här kan vi helt enkelt lista över möjligheterna, de två kan komma först eller de kan komma på andra plats.
Sannolikheten för att rulla en två och en fyra är 2/36, av samma anledning att sannolikheten för en två och en tre är 2/36.
Sannolikheten för att rulla en två, tre och en fyra är 0 eftersom vi bara rullar två tärningar och det finns inget sätt att få tre siffror med två tärningar.

Vi använder nu formeln och ser att sannolikheten för att få minst två, tre eller fyra är

11/36 + 11/36 + 11/36 - 2/36 - 2/36 - 2/36 + 0 = 27/36.

Formel för sannolikhet för sammansättning av fyra uppsättningar

Anledningen till att formeln för sannolikheten för förening av fyra uppsättningar har sin form liknar resonemanget för formeln för tre uppsättningar. När antalet uppsättningar ökar ökar också antalet par, tripplar och så vidare. Med fyra uppsättningar finns det sex parvisa korsningar som måste subtraheras, fyra tredubbla korsningar för att lägga till i igen, och nu en fyrdubblad korsning som måste subtraheras. Får fyra uppsättningar EN, B, C och D, formeln för föreningen av dessa uppsättningar är som följer:

P (EN U B U C U D) = P(EN) + P(B) + P(C) +P(D) - P(EN ∩ B) - P(EN ∩ C) - P(EN ∩ D)- P(B ∩ C) - P(B ∩ D) - P(C ∩ D) + P(EN ∩ B ∩ C) + P(EN ∩ B ∩ D) + P(EN ∩ C ∩ D) + P(B ∩ C ∩ D) - P(EN ∩ B ∩ C ∩ D).

Övergripande mönster

Vi kunde skriva formler (som skulle se ännu skrämmare ut än ovan) för sannolikheten för sammanslutning av mer än fyra uppsättningar, men från att studera ovanstående formler bör vi märka några mönster. Dessa mönster håller för att beräkna fackföreningar på mer än fyra uppsättningar. Sannolikheten för förening av valfritt antal uppsättningar kan hittas enligt följande:

Lägg till sannolikheterna för de enskilda händelserna.
Dra bort sannolikheterna för korsningarna i varje händelsepar.
Lägg till sannolikheterna för skärningspunkten mellan varje uppsättning av tre händelser.
Subtrahera sannolikheterna för skärningspunkten mellan varje uppsättning av fyra händelser.
Fortsätt denna process tills den sista sannolikheten är sannolikheten för skärningspunkten mellan det totala antalet uppsättningar som vi började med.

Vetenskap