Vad är kalkyl? Definition och praktiska tillämpningar

Calculus är en gren av matematik som involverar studier av förändringshastigheter. Innan kalkylen uppfanns var all matematik statisk: Det kunde bara hjälpa till att beräkna objekt som var helt stilla. Men universum rör sig och förändras ständigt. Inga föremål - från stjärnorna i rymden till subatomära partiklar eller celler i kroppen - är alltid i vila. Faktum är att nästan allt i universum hela tiden rör sig. Calculus hjälpte till att bestämma hur partiklar, stjärnor och materia faktiskt rör sig och förändras i realtid.

Calculus används i en mängd fält som du vanligtvis inte skulle tro att skulle använda sina koncept. Bland dem finns fysik, teknik, ekonomi, statistik och medicin. Calculus används också i sådana olika områden som rymdresor, samt för att bestämma hur mediciner interagerar med kroppen, och till och med hur man bygger säkrare strukturer. Du förstår varför kalkylen är användbar på så många områden om du vet lite om dess historia och vad den är utformad för att göra och mäta.

Key Takeaways: Grundläggande teorem för kalkylen

• Kalkyl är studien av förändringshastigheter.
• Gottfried Leibniz och Isaac Newton, matematiker från 1600-talet, uppfann båda beräkningarna oberoende. Newton uppfann det först, men Leibniz skapade de notationer som matematiker använder idag.
• Det finns två typer av beräkningar: Differentialberäkning bestämmer hastigheten på en kvantitets förändring, medan den integrala beräkningen hittar mängden där förändringsgraden är känd.

Vem uppfann kalkylen?

Calculus utvecklades under senare hälften av 1600-talet av två matematiker, Gottfried Leibniz och Isaac Newton. Newton utvecklade först kalkylen och använde den direkt för att förstå fysiska system. Oberoende utvecklade Leibniz notationerna som användes i kalkylen. Enkelt uttryckt, medan grundläggande matematik använder operationer som plus, minus, tider och uppdelning (+, -, x och ÷), använder kalkylen operationer som använder funktioner och integraler för att beräkna förändringshastigheter.

Dessa verktyg tillät Newton, Leibniz och andra matematiker som följde för att beräkna saker som den exakta sluttningen av en kurva när som helst. Berättelsen om matematik förklarar vikten av Newtons grundläggande teorem för kalkylen:

"Till skillnad från staternas geometri för grekerna tillät kalkylen matematiker och ingenjörer att känna till rörelsen och den dynamiska förändringen i den föränderliga världen runt oss, såsom planeterbanor, rörelser av vätskor, etc."

Med hjälp av kalkyler kunde forskare, astronomer, fysiker, matematiker och kemister nu kartlägga planeten och stjärnornas bana, liksom banan för elektroner och protoner på atomnivå.

Differential kontra integrerad kalkyl

Det finns två grenar av kalkylen: differentiell och integrerad kalkyl. "Differentialkalkyl studerar derivat- och integralkalkylstudier ... integralen", konstaterar Massachusetts Institute of Technology. Men det finns mer än det. Differentialberäkning bestämmer hastigheten på en kvantitets förändring. Den undersöker hastigheterna för förändringar av sluttningar och kurvor.

Denna gren handlar om att studera graden av förändring av funktioner med avseende på deras variabler, särskilt genom användning av derivat och skillnader. Derivatet är lutningen för en linje på en graf. Du hittar lutningen på en linje genom att beräkna stigningen under loppet.

Integrerad kalkyl försöker däremot hitta mängden där förändringsgraden är känd. Denna gren fokuserar på sådana begrepp som sluttningar av tangentlinjer och hastigheter. Medan den differentiella kalkylen fokuserar på själva kurvan, berör den integrala kalkylen sig med utrymmet eller området under kurvan. Integrerad kalkyl används för att beräkna den totala storleken eller värdet, såsom längder, områden och volymer.

Calculus spelade en viktig roll i utvecklingen av navigering på 1600- och 1700-talet eftersom det gjorde det möjligt för sjömän att använda månens position för att exakt bestämma lokal tid. För att kartlägga sin position till sjöss behövde navigatörer kunna mäta både tid och vinklar med noggrannhet. Före utvecklingen av kalkylen kunde skeppsnavigatorer och kaptener inte göra något av dessa.

Kalkyl - både derivat och integrerad - hjälpte till att förbättra förståelsen för detta viktiga koncept när det gäller jordens kurva, distansfartygen var tvungna att resa runt en kurva för att komma till en specifik plats och till och med anpassningen av jorden, hav och skepp i förhållande till stjärnorna.

Praktiska tillämpningar

Calculus har många praktiska tillämpningar i verkligheten. Några av de begrepp som använder kalkylen inkluderar rörelse, elektricitet, värme, ljus, övertoner, akustik och astronomi. Calculus används i geografi, datorsyn (som för autonom körning av bilar), fotografering, konstgjord intelligens, robotik, videospel och till och med filmer. Calculus används också för att beräkna hastigheterna för radioaktivt sönderfall i kemi, och till och med för att förutsäga födelse- och dödsfrekvenser, liksom för att studera gravitation och planetrörelse, vätskeflöde, skeppsdesign, geometriska kurvor och broteknik.

I fysik, till exempel, används kalkyler för att definiera, förklara och beräkna rörelse, elektricitet, värme, ljus, harmonik, akustik, astronomi och dynamik. Einsteins relativitetsteori bygger på kalkyl, ett matematikfält som också hjälper ekonomer att förutsäga hur mycket vinst ett företag eller bransch kan göra. Och inom skeppsbyggnad har kalkylen använts under många år för att bestämma både kurvan för fartygets skrov (med hjälp av differentiell kalkyl), såväl som området under skrovet (med integrerad kalkyl), och till och med i den allmänna utformningen av fartyg.

Dessutom används kalkyl för att kontrollera svar för olika matematiska discipliner som statistik, analytisk geometri och algebra.

Kalkyl i ekonomi

Ekonomer använder kalkyl för att förutsäga utbud, efterfrågan och maximala potentiella vinster. Utbud och efterfrågan kartläggs trots allt väsentligt på en kurva och en ständigt föränderlig kurva.

Ekonomer använder kalkyl för att bestämma efterfrågan på priselasticitet. De hänvisar till den ständigt föränderliga utbud och efterfrågan kurvan som "elastisk", och handlingarna av kurvan som "elasticitet." För att beräkna ett exakt mått på elasticitet vid en viss punkt på en tillgång eller efterfrågan kurva, måste du tänka på oändligt små prisförändringar och, som ett resultat, integrera matematiska derivat i dina elasticitetsformler. Calculus låter dig bestämma specifika punkter på den ständigt föränderliga utbud och efterfrågan.

Källa

"Beräkningsöversikt." Massachusetts Institute of Technology, 10 januari 2000, Cambridge, MA.