Vad är sannolikheten för att du bara inhalerade en del av Lincolns sista andetag?

Andas in och andas sedan ut. Vad är troligt att minst en av de molekyler du inhalerade var en av molekylerna från Abraham Lincolns slutliga andetag? Detta är en väldefinierad händelse, och det har sålunda en sannolikhet. Frågan är hur troligt att detta inträffar? Pausa ett ögonblick och tänk vilket nummer som låter rimligt innan du läser ytterligare.

antaganden

Låt oss börja med att identifiera några antaganden. Dessa antaganden kommer att hjälpa till att rättfärdiga vissa steg i vår beräkning av denna sannolikhet. Vi antar att sedan Lincolns död för över 150 år sedan sprids molekylerna från hans sista andetag jämnt över hela världen. Ett andra antagande är att de flesta av dessa molekyler fortfarande är en del av atmosfären och kan inhaleras.

Det är värt att notera vid denna punkt att dessa två antaganden är det som är viktigt, inte att personen vi ställer frågan om. Lincoln kan ersättas med Napoleon, Gengis Khan eller Joan of Arc. Så länge som tillräckligt med tid har gått för att sprida en persons slutliga andetag, och för att det sista andetaget ska fly till den omgivande atmosfären, kommer följande analys att vara giltig.

Enhetlig

Börja med att välja en enda molekyl. Antag att det finns totalt EN luftmolekyler i världens atmosfär. Anta dessutom att det fanns B luftmolekyler som andas ut av Lincoln i hans slutliga andetag. Med det enhetliga antagandet är sannolikheten att en enda molekyl luft som du inhalerar var en del av Lincolns sista andetag B/EN. När vi jämför volymen för ett enda andetag med volymen i atmosfären ser vi att detta är en mycket liten sannolikhet.

Komplementregel

Därefter använder vi komplementregeln. Sannolikheten för att någon speciell molekyl som du inhalerar inte var en del av Lincolns sista andetag är 1 - B/EN. Denna sannolikhet är mycket stor.

Multiplikationsregel

Fram till nu överväger vi bara en specifik molekyl. Emellertid innehåller en sista andetag många luftmolekyler. Således överväger vi flera molekyler genom att använda multiplikationsregeln.

Om vi ​​andas in två molekyler är sannolikheten att ingen av delarna var del av Lincolns sista andetag:

(1 - B/EN) (1 - B/EN) = (1 - B/EN)²

Om vi ​​inhalerar tre molekyler är sannolikheten att ingen var en del av Lincolns sista andetag:

(1 - B/EN) (1 - B/EN) (1 - B/EN) = (1 - B/EN)³

I allmänhet, om vi inhalerar N molekyler, sannolikheten för att ingen var en del av Lincolns sista andetag är:

(1 - B/EN)^N.

Komplettera regel igen

Vi använder komplementregeln igen. Sannolikheten för att minst en molekyl är ur N som utandades av Lincoln är:

1 - (1 - B/EN)^N.